EA 2001 premiere epreuve classe prepa mp

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aiolos

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Français

ANNEE2001 CONCOURS D’ADMISSION A L’ECOLE DE L’AIR CONCOURS MP PREMIÈREÉPREUVE DE MATHEMATIQUES I Durée : 4 heures Coefficient : 13 L’attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra compte du soin et de la rigueur apportés dans le travail. T.S.V.P. L’objet de ce problème est 1 ‘étude d’un opérateur en lien avec une équation fonctionnelle appelée : intégrale de Fredholm de première espèce. Dans une première partie, on étudiera les propriétés générales de cet opérateur, dans la deuxième partie une certaine classe de ces opérateurs et enfin, dans la troisième partie, un cas particulier. Dans tout ce problème , E désigne 1 ‘espace des fonctions continues de [Q, X] dans 08. 7I 2 Pourf élément de E, on note N, fl = sup( f(t)1 et N 2 t$ = ]f (t)dt . @[OJ] 0 On considère aussi une fonction K continue sur [0, II]’ a * valeurs dans R, non identiquement nulle et telle que V(x, y) E [0, z12, K(x,y)=K(y,x). On rappelle le symbole de Kronëcker 6, tel que 13, =l si i=j et 6, =O sinon. Préliminaire Les résultats de ce préliminaire ne serviront que dans la troisième partie de ce problème. l 1) Montrer que l’équation tan(x) = x d’inconnue réelle x a une infinité de solutions réelles positives qui sont les termes d’une suite (U”)“~N telle que : VnEN, n7rIw, Voir