Deug MIAS 2eme annee Septembre Duree 2H tous documents interdits
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Niveau: Supérieur
PARTIEL D'ANALYSE Deug MIAS 2eme annee Septembre 2004 Duree 2H. tous documents interdits. 1. Soit u : R ?? R une fonction continue. On pose v(x) = x2∫ x+1 u(t) dt , pour x ? R . a) Montrer que v s'annule en au moins deux points de R (2p) b) Donner l'exemple d'une fonction u telle que v s'annule en au plus deux points de R. (2p) c) Calculer v?(x) pour tout x ? R. (2p) 2. On pose u0 = pi et on definit par recurrence un = cosun?1 n , pour n ≥ 1 . Etudier la convergence de la serie ∞∑ n=1 un. (3p) 3. Pour x > 0, on pose g(x) = ∞∑ n=1 e?nx n . a) Calculer g?(x) pour x > 0. (1p pour le resultat + 2p pour la demonstration) b) Calculer lim x?0+ g(x). (2p) c) Soit G(x) = ∞∑ n=1 e?nx n + 1 . Montrer que G satisfait une equation differentielle du premier ordre, qu'on ecrira sans la resoudre.
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PARTIEL D'ANALYSE Deug MIAS 2eme annee Septembre 2004 Duree 2H. tous documents interdits. 1. Soit u : R ?? R une fonction continue. On pose v(x) = x2∫ x+1 u(t) dt , pour x ? R . a) Montrer que v s'annule en au moins deux points de R (2p) b) Donner l'exemple d'une fonction u telle que v s'annule en au plus deux points de R. (2p) c) Calculer v?(x) pour tout x ? R. (2p) 2. On pose u0 = pi et on definit par recurrence un = cosun?1 n , pour n ≥ 1 . Etudier la convergence de la serie ∞∑ n=1 un. (3p) 3. Pour x > 0, on pose g(x) = ∞∑ n=1 e?nx n . a) Calculer g?(x) pour x > 0. (1p pour le resultat + 2p pour la demonstration) b) Calculer lim x?0+ g(x). (2p) c) Soit G(x) = ∞∑ n=1 e?nx n + 1 . Montrer que G satisfait une equation differentielle du premier ordre, qu'on ecrira sans la resoudre.
- serie geometrique de raison e?x
- ?nx
- serie harmonique
- racines reelles distinctes
- e?x
- convergence de la serie ∞∑
- calculer v?
PARTIEL D’ANALYSE
DeugMIAS2e`meanne´e Dure´e2H.tousdocumentsinterdits.
1. Soitu:R−→Rune fonction continue. On pose
2 x Z v(x) =u(t)dt, pourx∈R. x+1
a) Montrer quevs’annule en au moins deux points deR(2p)
Septembre 2004
b) Donner l’exemple d’une fonctionutelle quevs’annule en au plus deux points deR. (2p)
0 c) Calculerv(x) pour toutx∈R. (2p)
2. On poseu0=πeotdne´nfiticu´errpaceenrr cosun−1 unpour= , n≥1. n ∞ X Etudierlaconvergencedelase´rieun. (3p) n=1 3. Pourx >0, on pose ∞ −nx X e g(x) =. n n=1 0 a) Calculerg(x) pourx >d´laurpo2pt+taulse´relruopp1(.0)itnotsarmeno
b) Calculer limg(x). (2p) x→0+ c) Soit ∞ −nx X e G(x) =. n+ 1 n=1 Montrer queGsftisae´enutiadnoitauqecn´rarinssar´lauose.erdiff´erentielleduperimrerord,euqo’ (2p)
4. Soit la suite de fonctions (fnniesd´efi)rusRnadsruelava`sRpar : n αx fn(x1 +) = , n ou`αetsnu´reelfix´e.
a) Montrer que la suite (fn) converge simplement vers une fonctionf:R−→R. (1p)
b) Poura >canouqleneecevgrfix´e0trer,montuesfoniesrm[ur−a, a(3p)] . Indication :trmespm,jarorenudansunpremie:´eitntauqaltneme´mrofi|ln(fn(x))−ln(f(x))|, pournassez grand.
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