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01 novembre 2004

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Niveau: Supérieur
PARTIEL D'ANALYSE Deug MIAS 2eme annee 19 Novembre 2004 Duree 2H. tous documents interdits. 1. Enoncer le theoreme fondamental du calcul integral (1p) et la deuxieme formule de la moyenne (1p). 2. Calculer les integrales suivantes a) ∞∫ 2 dx x √ x? 1 (poser x? 1 = t2) (2p) ; b) ∞∫ 4 e? √ xdx (poser x = t2) (2p) ; c) ∞∫ 1 arctanx x2 dx (integrer par parties et decomposer en elements simples) (3p). 3. Soit F : [ 0,∞ [?? R la fonction definie par F (x) = 2x∫ x dt √ t4 + 4 . a) Calculer la derivee de F et determiner ses zeros. (2p) b) Calculer la limite : lim x?∞ F (x). (2p) c) Determiner le nombre de solutions de l'equation F (x) = ?, pour ? = 1 2 √ 5 et pour ? = 1√ 5 . Indication : etablir un encadrement de F (1) par la methode la plus simple. (3p) 4. Soit ? : [ a, b ] ?? R+ une fonction positive et decroissante, et soit n > 1 un entier.

dt t2

theoreme fondamental du calcul integral

e? √

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PARTIEL D’ANALYSE

DeugMIAS2e`meanne´e Dure´e2H.tousdocumentsinterdits.

19 Novembre 2004

1.Enoncerleth´eore`mefondamentalducalculinte´gral(1p)etladeuxi`emeformuledelamoyenne (1p). 2.Calculerlesint´egralessuivantes ∞ ∞ Z Z √ dx 2−x2 a)√(poserx−1 =t) (2p) ;b)e dx(poserx=t) (2p) ; x x−1 2 4 ∞ Z arctanx c)dxni(ge´tprerlempsits.p)(3s)pmsorenee´´lmenearpartiesetd´eco 2 x 1 3. SoitF: [0,∞[−→Raprlctioafonﬁniend´e 2x Z dt F(x) =√. 4 t+ 4 x a)Calculerlade´riv´eedeFd´etos.(2p)srse´zretereimen b) Calculer la limite: limF(x). (2p) x→∞ 1 1 √ √ c)D´eterminerlenombredesolutionsdel’´equationF(x) =α, pourαpour= etα= . 2 55 Indication:´etablirunencadrementdeF.(le)3p(1)parlam´teohedallpsuispm 4. Soitϕ: [a, b]−→R+tfenutcnodte´vieesotioipntsoite,essancroin >1 un entier. Montrer qu’il existe une constanteA >0q,endnideuined´epn, ni deϕ, telle que l’on ait b Z Aϕ(a) inx ϕ(x)e dx≤, n   a et donner une valeur possible pourA. (3p) 5. Soitf: [0,1 ]−→Rune fonction continue. Pour tout entiern >0, on pose 1 Z 1/n In=f(x)dx . 0 Calculer limInitesslimntle´emeperare´scllu:nacioaticnd.Intva:ese´tiiussqsedtnau n→∞ 1/n1 Z Z 1/n1/n un=f(x)dxetvn=f(x)dx . 0 1/n

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