Corrige de l'epreuve d'Analyse du Concours

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Corrige de l'epreuve d'Analyse du Concours 2005 Jean-Marie Monier Questions preliminaires 1. Soit x = (xk)k>0 ? E. Notons y = T x = (yk)k>0. On a : ? k > 0, |yk| = ? ? ? 1 k + 1 k ∑ j=0 xj ? ? ? 6 1k + 1 k ∑ j=0 |xj | 6 1k + 1(k + 1)||x|| = ||x||, et donc : y ? E et ||y|| 6 ||x||. Ceci montre que E est stable par T et que : ?x ? E, ||T x|| 6 ||x||. On note T : E ?? E l'endomorphisme induit par T sur E. 2. Puisque T est lineaire, que E est un C-sev de E , et que E est stable par T , T est lineaire. D'apres le resultat de 1., T est continue. De plus, |||T ||| 6 1. 3. Soit x = (xk)k>0 ? Ec. Il existe ? C tel que xk ?? k∞ .

vp ?p∞

k∞

theoreme de sommation des relations de comparaison

yk?1 ??

yk ?

k?1 ∑

proche en proche

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Corrig´edel’´epreuved’AnalyseduConcours2005

Jean-Marie Monier

Questionspr´eliminaires 1. Soit x = ( x k ) k > 0 ∈ E. Notons y = T x = ( y k ) k > 0 . On a : ∀ k > 0 , | y k | = ¯ k 1+1 jk X =0 x j ¯ 6 k 1+1 jk X =0 | x j | 6 k +11( k + 1) || x || = || x || , et donc : y ∈ E et || y || 6 || x || . Ceci montre que E est stable par T et que : ∀ x ∈ E, ||T x || 6 || x || . On note T : E −→ E l’endomorphisme induit par T sur E. 2. Puisque T estlin´eaire,que E est un C -sev de E , et que E est stable par T , T estline´aire. D’apre`slere´sultatde1., T est continue. De plus, ||| T ||| 6 1 . 3. Soit x = ( x k ) k > 0 e x k −→ `. ∈ E c . Il existe ` ∈ C tel qu k ∞ On a donc x k − ` = o (1) . k ∞ Commelas´eriedetermeg´en´eral1estdivergenteet`atermesr´eels > 0 , d’apre`sunthe´ore`mede sommation des relations de comparaison, on a : k k X ( x j − ` ) = k o ∞ ³X 1 ´ = k o ∞ ( k + 1) , j =0 j =0 k y k − ` = k +11 X ( x j − ` ) = k o (1) , ∞ j =0

d’o`u: c’est-`a-dire: y kk −→ `. ∞ Ceci montre : ∀ x ∈ E c , T x ∈ E c , c’est-a`-direque E c est stable par T . Pluspre´cis´ement,onamontre´que,pourtoute x ∈ E, si x converge vers `, alors T x converge vers `.

Partie I : Exemples A. Premiers exemples 1. On a, pour tout k ∈ N : (1 − e i θ ) y k = k +11(1 − e i θ )(1 + e i θ + ∙ ∙ ∙ + e i kθ ) = k 1+1 ¡ 1 − e i( k +1) θ ¢ .

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