BTS - groupement B 1 - 2003Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesExercice11. D´efaut d’approvisionnement(a) Calcul de P (E )1P (E ) =P (A∩B)1=P (A)×P (B)car A et B sont ind´ependants.= 0,04×0,02= 0,0008(b) Calcul de P (E )2P (E ) =P (A∪B)2=P (A)+P (B)−P (A∩B)= 0,04+0,02−0,0008= 0,05922. Pannes de la machine sur une dur´ee de 100 jours.(a) Calcul de P (X≤ 2)P (X≤ 2) =P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)= 0,6065+0,3033+0,0758= 0,9856(b) La machine a au plus 4 pannes pendant la p´eriode de 100 jours cons´ecutifsOn demande le calcul de P (X≤ 4)P (X≤ 4) =P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4)= 0,6065+0,3033+0,0758+0,0126+0,0016= 0,9998(c) Plus petit entier n tel que : p(X≤n)≥ 0,99On a vu que P (X≤ 2) = 0,9856 donc P (X≤ 2)≤ 0,99De plus : P (X≤ 3) =P (X≤ 2)+P (X = 3) = 0,9856+0,0126= 0,9982 donc P (X≤ 3)≥ 0,99Le plus petit entier n tel que : p(X≤n)≥ 0,99 est donc 3.3. Embouteillage: calcul de la probabilit´e qu’une bouteille satisfasse `a la norme.Y −1,5La variable al´eatoire Y suit la loi normaleN (1,5;0,01) donc la variable al´eatoire T = suit la loi nor-0,01male centr´ee r´eduiteN (0;1).La probabilit´e demand´ee est: p =P (1,47≤Y ≤ 1,53)=P (−3≤T≤ 3)= 2π(3)−1= 2×0,99865−1−3= 0,997 a` 10 pr`es.4. Test d’hypoth`ese¯(a) Z suitN(1,5;0,001) σ¯ √On sait que: Z suitN ; avec σ = 0,01 , n = 100 et = 1,5.n¯Donc Z suitN (1,5;0,001) ¯(b) Calcul de h tel que :P 1,5−h≤Z≤ 1,5+h = 0,95¯Z−1,5¯Z suitN (1,5;0,001) donc T = suit la loi ...
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