Corrigé BTS 2017 Mathématiques Groupe B
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BTSIndustriels
Session 2017
Épreuve :Mathématiques Groupe B
Durée de l’épreuve : 2 heures
PROPOSITION DE CORRIGÉ
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Exercice 1 (10 points)
Partie A
1. - 4* 10a) delta = 3 ² *-0.2 = 1 d’où 2 solutions : (-3 -1) / 2* 10 = 4 / 20= - 0.2et
(-3 +1) / 2* 10 =- 2/ 20= - 0.1
- 0,2 t- 0,1 t
lede (E0) est :y(t)1k+k1
b) La solution généra1ek2e, oùetk2sont 2 réels
quelconques.
2. 10g’'(t)+3g'(t)# 0,) g(t)10 + 0 +0,2*511donc g est solution de (E).
- 0,2 t- 0,1 t
3. La solution généralede(E) est alors :y(t)15+ k1ek2e , k1etk2sont 2 réels
+
quelconques.
4. Le logiciel fournit k1=- 3etk2= 6.Pour un temps de 2h on calcule:
- 0,1*2- 0,2*2
y(2)15+ 6e -3e ≈7,9d’où une hauteur de liquidede 7,9m au bout de
2h.
Partie B
1. On a f(0) = - 10 +12= la nacelle est à 2m de hauteur à t =2 donc 0.
,
,
lim li lim
a) Comme→ =0,o n am
→ =
→ 0ce qui
impliqu
→
e quelim= 5
b)C admet D pourasymptote horizontale d’équation y = 5.
- 0,1t- 0,2t- 0,1t- 0,2t
2. h‘ (t) =6*(- 0,1)e -3*(- 0,2)e =- 0,6e +0,6e
- 0,2 t- 0,1 t
=0,6(e-e )
3. Commeh ‘ (t)≤0 pourt≥0, on a donc le tableau suivant:
x
Signe de
f ‘(x)
f(x)
0∞
--
8
↘
5
ème
Partie C1°C’est la 3proposition qui est la bonne.
ème
2° C’est la 3propositionqui est la bonne. (tangente horizontale)
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2
3° Commeau voisinage de0, on a : h(t) – 8 = - 3/100 * t ²≤0 , alors Cestau-dessous de la
tangente T (et elle le reste puisque h décroît).
Exercice 2(10 points)
Partie A
∗
1. P ( T≤2000 ) = 1 -≈ 0,3297
2. La probabilité que la durée de bon fonctionnement dure plus de 10000 heures est :
∗
P ( T≥10000) =≈ 0,1353
3. La durée moyenne de bon fonctionnement de cette machine est E(T) = 1 /λ= 5 000
heures.
Partie B
1° Le prélèvement d’une bille est assimilé à une expérience de Bernoulli, lesuccès étant
luimême assimilé à l’obtention d’une bille défectueuse (probabilité 0,05% = 0,005). On répète
cette expérience 1000 fois, doncXsuit la loi binomiale de paramètresn11000 etp10,005.
1000
2° a )On a P (X= 0) = (1 - 0,005)≈qui correspond à l, ce 0,0067a probabilité qu’il
y ait aucunebille défectueusedans un échantillon de 1000 billes.
b) La probabilité qu’il y ait au moins unebille défectueuse est :
1000
P (X≥1) = 1 - P (X= 0) = 1–(1 – 0,005)≈ 0,9933
3° a) La moyenne pour la loi binomiale de paramètresn11000 etp10,005est n*p = 5 et
l’écart-type est√(n*p*(1 – p))=√(5 * 0,995)≈2,2, d’où l’approximation choisie.
b) La probabilité qu’il y ait au plus 7 billes défectueuse est avec cette approximation:
P (Y≤7,5)≈ 0,8721
99
(avec NormalFrép( -10, 7.5, 5 , 2.2 ) ou NormCd suivant la calculatrice utilisée)
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