Correction MATHS concours CCP filière PC

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Niveau: Supérieur
Correction MATHS 1, concours CCP 2009, filière PC Partie I I.1) Soit S Sn +( ), soit M Mn( ). ? Montrons tout d abord que , tMSM est symétrique: t ( t MSM)= t M tS t ( t M)= tMSM ? Ensuite, pour tout X de Mn,1( ), tX tMSMX = t (MX)S(MX) Or MX Mn,1( ) et S Sn +( ), donc t (MX)S(MX) 0 . Finalement, t MSM Sn +( ). I.2) Soit S une matrice symétrique réelle d'ordre n Écrivons S PDP 1 , où D est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de S, et P une matrice orthogonale d ordre n. On peut donc écrire D tPSP Remarquons que si Y= 1 ? Mn,1( ), et si 1 , …, n sont les valeurs propres de S (comptées avec leur ordre de multiplicité), alors tYDY = 1 y1 2 + …+ n yn 2 On en déduit que S Sn +( ) (respectivement Sn ++( ) ) D tPSP Sn +( ) (resp. Sn ++( ) ) tYDY 0 (resp >0 s i Y ) 1 y1 2 + …+ n yn 2 0 (resp >0 si Y ) En prenant successivement pour Y chacun des vecteurs

coefficients diagonaux

s2 s1

matrice orthogonale

matrices symétriques

formule

produit de matrices

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Correction MATHS 1, concours CCP 2009, filière PC Partie I + I.1)Soit SSsoit M( ), Mn( ). n t t t t t t t t ■ Montrons toutabord que , M S Mest symétriqueM S M) = M S M ) = M S ( M : ( t t t ■ Ensuite,pour tout X deMn,1( ),X M S M X=( M X ) S ( M X )+t O rM XMn,1( ) et SS( ), donc0 .( M X ) S ( M X ) n t+ Finalement,M S MS).n I.2)Soit S une matrice symétrique réelle d’ordre n 1 ÉcrivonsD PS P , où D est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de S, et P une t matrice orthogonale d ordre n. On peut donc écrireD P S P ݕ 1 ⋮ Remarquons que si Y= Mn,1( ), et si1, …,nsont les valeurs propres de S (comptées avec leur ordre de multiplicité), ݕ  t2 2 alors=Y D Y 1y1+ …+nyn+ ++t+ ++ On en déduit que SS) (respectivementS) )D P S PS) (resp.S( ) )n n n n t 0 ( r e s p Y D Y Y )> 0 s i 2 2 1y1+ …+nyn 0 ( r e s p > 0 s i Y )n En prenant successivement pour Y chacun des vecteurs de la base canonique de , on obtient10 , …n 0 (resp.10 , …n 0 ) Réciproquement si on suppose toutes les valeurs propres de S positives (respectivement strictement positives), alors pour tout Y t2 2 + ++ deMn,1( ) ,=Y D Y 1y1+ …+nyn 0(resp >0 s i Y), donc DS( ) (resp.S) , et par suite( ) n n t1 1+ ++ (n n S =P D PS( ) (resp.S( ) ) 2−1 I.3)La matrice A= est clairement symétrique. Pour montrer qu elle est positive, déterminons ses valeurs propres: son −1 1 5 5 2 3 3 polynôme caractéristique estX3X1, qui admet pour racines et . 2 2 Les valeurs propres de S sont donc strictement positives (car5< 3). Bilan:A est symétrique positive, et même définie positive. −1 0 0 I.4)La matrice B=0 2−1est clairement symétrique. En utilisant la matrice A de la question précédente, on peut 0−1 1 3535 affirmer que les valeurs propres de B sont 1, et .est donc pas positive.La matrice B 2 2 + I.5)Soit SS( ), ordre n inversible Pet soit une matrice symétrique réelle semblable à S, c estàdire il existe une matrice n 1 + telle queT P S P. Montrons que TS( ). n n Les matrices T et S représentent le même endomorphisme de dans deux bases différentes, donc leurs valeurs propres sont les + mêmes, donc celles de T sont positives, c estàdire TS). n I.6) a) Soit MGlnest une valeur propre de M, alors ). Si 0 dansest non nul (sinon il existerait X Mn,1( ) tel queMX0, 1 1 ce qui contredit le fait que M est inversible), et est valeur propre deM(en effet si on note X un vecteur propre non nul 1 1 1 1 1 associé à la valeur propre , alorsMX XX M XM X, estàdire est valeur propre deMavec comme vecteur propre X). 1 1 On a donc montré l implication: sp(M) sp(M) .1 1 A présent si est une valeur propre deM, alors en appliquant le raisonnement précédent àMau lieu de M, on montre que est 1 1 1 non nul et que est valeur propre de(M)M 1 1 Fi na l e me nt , no us a vo ns l é q ui va l e nce sp(M) sp(M) . 1 1 1 1 Bilan: si le spectre de M est sp(M) = {1, …,p} , alors le spectre deMest : sp(M) = {1, …,p}

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