Concours Fesic mai
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Niveau: Supérieur
[ Concours Fesic mai 2007 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On consi- dère les points A d'affixe i, M d'affixe z et M ? d'affixe z ? avec z 6= z ?. On appelle : h l'homothétie de centre A et de rapport 2, t la translation de vecteur??v et r la rotation de centre A d'angle π 2 . 1. Si M ? = h(M) , alors z ? = 2z? i. 2. Si M ? = t(M), alors z ? = z? i. 3. Si M ? = r (M), alors A appartient à la médiatrice de [MM ?] . 4. Soit B le point d'affixe 4?3i. Le point B ? = r (B) a pour affixe 3+4i. EXERCICE 2 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On considère les points A et B d'affixes respectives a =? p 5+ i p 15 et b = 2 p 3+2i.
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[ Concours Fesic mai 2007 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . On consi- dère les points A d'affixe i, M d'affixe z et M ? d'affixe z ? avec z 6= z ?. On appelle : h l'homothétie de centre A et de rapport 2, t la translation de vecteur??v et r la rotation de centre A d'angle π 2 . 1. Si M ? = h(M) , alors z ? = 2z? i. 2. Si M ? = t(M), alors z ? = z? i. 3. Si M ? = r (M), alors A appartient à la médiatrice de [MM ?] . 4. Soit B le point d'affixe 4?3i. Le point B ? = r (B) a pour affixe 3+4i. EXERCICE 2 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On considère les points A et B d'affixes respectives a =? p 5+ i p 15 et b = 2 p 3+2i.
- lnx xn
- repère orthonormal
- courbe cn
- hypothèse de récurrence up
- surface grisée
- tangente commune au point d'abscisse
- up
[Concours Fesic mai 2007\
Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse,−1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.
EX E R C IC E1 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v. On consi ′ ′ ′ dère les points A d’affixe i,Md’affixezetMd’affixezavecz6=z. −→ On appelle :hl’homothétie de centre A et de rapport 2,tla translation de vecteurv π et r la rotation de centre A d’angle . 2 ′ ′ 1.SiM=h(M) , alorsz=2z−i. ′ ′ 2.SiM=t(M), alorsz=z−i. ′ ′ 3.SiM=r(M), alors A appartient à la médiatrice de [M M] . ′ 4.Soit B le point d’affixe 4−3i. Le pointB=r(B) a pour affixe 3+4i.
EX E R C IC E2 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. On considère les p points A et B d’affixes respectivesa= −5+i 15 etb=2 3+2i. 2nπ n 1.Soitn∈N. Un argument deaest . 3 2.O appartient à la médiatrice de [AB]. 3.OAB est un triangle rectangle en O. 4.Le cercle circonscrit à OAB a pour rayon 3.
EX E R C IC E3 ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal O,u,v, on considère les points A et B d’affixes respectives 1 et 2i. On désigne par (E) l’ensemble des pointsMd’affixesztelles que|z−2i| = |z−1|et par (F) l’ensemble des pointsM, distincts de A et B, d’affixesztelles que µ ¶ z−2iπ arg= +2kπ,k∈Z.z z−1 2 1.(E) est un cercle. 2.Les pointsMde (F) décrivent un cercle sauf deux points. 1 1 3.Le point C d’affixe− +i appartient à (E) et (F). 2 2 z−2i 4.(F) est aussi l’ensemble des pointsMtels que le complexeZ=soit un z−1 nombre imaginaire pur.
EX E R C IC E4 On donne les deux courbesCetΓcidessous. L’une de ces courbes représente une fonctionfdéfinie et continue sur [0 ;+∞[ ; l’autre représente une primitiveFdefsur [0 ;+∞[. On admettra queΓpossède l’axe des abscisses pour tangente en O(0, 0) et queC
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possède l’axe des ordonnées pour tangente en ce même point.
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O
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Γ
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-1 1,0 -1 0 1 2 1.Γest la courbe qui représentef. Z x 2.Pour toutx∈R+,F(x)=f(t) dt. 0 3.ce grisée.L’aire de la surface hachurée est la même que celle de la surfa ′′ 4.Fest deux fois dérivable en 0 etF(0)=0.
EX E R C IC E5 On considère quatre fonctionsf,g,hetkdéfinies surR. On appelle respectivement C1,C2,C3etC4les courbes représentatives de ces fonctions.
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CourbeC2
0,2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 0,4 0,6 0,8 CourbeC3CourbeC4 1,0 ³ ´ π 1.Quel que soitx∈R,g x− =f(x). 2 2.Quel que soitx∈R,h(x)= |f(x)|. 3.Quel que soitx∈R,f(x)−g(x)+h(x)−k(x)=0. ³ ´ x 4.C4représente la fonction qui àx∈R., associe sin 2
EX E R C IC E6
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1.Soitfla fonction définie sur [0 ;+∞] par :f(x)=x x. On cherche à savoir si fest dérivable en 0. On tient pour cela le raisonnement suivant : «fest le produit de la fonctionx−7→xavec la fonctionx−→7x. Ces deux fonctions sont définies et continues sur [0 ;+∞], mais la fonctionx→−7x n’est pas dérivable en 0. Il s’ensuit quefn’est pas dérivable en 0 en tant que produit de deux fonctions dont l’une n’est pas dérivable en 0. » Ce raisonnement est exact. 2.On considère la suite (un) définie par :u0=1 et pour toutnentier par µ ¶ 1 2 un+1=un+. On admet que cette suite est bien définie (un6=0) et 2un qu’elle est convergente. On appelleℓsa limite. On cherche à savoir siℓest un nombre rationnel ou non. Pour cela on tient le raisonnement suivant : « SoitP(n) la phrase «unest un nombre rationnel ». Initialisation :u0=1 est un nombre rationnel doncP(0) est vraie. Soitpentier tel queP(p) soit vraie. Montrons queP(p+1) est vraie. D’après l’hypothèse de récurrenceupest un nombre rationnel, il en est de µ ¶ 2 1 2 même de ainsi que deup+1=up+. Il s’ensuit queup+1est ration up2up nel doncP(p+1) est vraie. Conclusion : de ces deux assertions et d’après le principe de raisonnement par récurrence je déduis que pour toutnentierP(n) est vraie.ℓest alors la limite d’une suite de nombres rationnels, doncℓest luimême un nombre ration nel. » Ce raisonnement est exact. ³ ´ −→−→−→ 3.L’espace est rapporté à un repère orthonormal O,ı,,k. On considère les points A(1 ; 0 ;−1), B(4 ; 3 ; 0) et C(7 ;−1 ; 1). On veut prouver que A, B et C déterminent un plan. Pour cela on tient le raisonnement suivant : −→−→ « On a AB (3 ; 3 ; 1) et AC (6 ;−1 ; 2). Il s’ensuit : AB=19, AC=41 et −→−→ AB∙AC=17.
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−→−→ Comme AB×AC6=¯AB∙AC¯, les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déter minent un plan. » Ce raisonnement est exact. 4.Soitfla fonction définie surRparf(x)=E(sinx) (E désigne la fonction « par tie entière »). On cherche la limite éventuelle def(x) lorsquextend vers 0. On tient pour cela le raisonnement suivant : «fest définie dans un voisinage de 0. On utilise le changement de variable X=sinxsin; on sait que lim x=0, donc limX=0. Par suite, et d’après le x→0x→0 théorème de composition des limites, on a limf(x)=lim E(X)=0. » x→0x→0 Ce raisonnement est exact.
EX E R C IC E7
xln(1+x)−2 lnx 1.lim=1. 2 x x→0 x>0 lnx 2.lim . x x→+∞ e 2x x 3.L’inéquation e+3e+260 n’a pas de solution réelle. ¡ ¢ −x2 4.La fonction définie surRparf(x)=e ln 1+xpossède le tableau de varia tions suivant :
x
′ f(x)
f(x)
−∞
+∞
−
0
0
+
+∞
+∞
EX E R C IC E8 ′3x On considère l’équation différentielle (E) :y−3y=e . Soientfla solution de (E) −3x définie surRtelle quef(0)=1 etgla fonction définie surRparg(x)=f(x)e . ′ 1.On af(0)=4. ′ 2.Quelque soitx∈R,g(x)=1. 3x 3.Quelque soitx∈R,f(x)=xe . Z x3x 3f(x)−e−2 4.Quelque soitx∈R,f(t) dt=. 09
EX E R C IC E9 Z xe lnx On définit la suite (In) pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 parIn=dx. n 1x 1 1.I1=. 2 2.La suite (In) est croissante. µ ¶ 1 1 3.Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a 06In61−. n−1 n−1 e
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4.Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, une intégration par parties 2 1−n donne (n−1)In=1−ne .
EX E R C IC E10 On considère les trois suitesu,vetwdéfinies respectivement par : ( ( u0=0v0=5 3un+2vn, 2un+3vnetwn=vn−un. un+1=vn+1= 5 5 1 1.La suitewest une suite géométrique de raison . 5 2.La suiteuest croissante. 3.Les suitesuetvsont convergentes. 4.Quelque soitn∈N,un6un+16vn.
EX E R C IC E11 On considère les suitesuetvdéfinies par : 3 u0= 2 −2 un+1= un−3
un−2 etvn=. un−1
1.Quelque soitn∈N, on a : 1<un<2. 2.La suiteuest convergente. 3.vest une suite géométrique de raison 2 et de premier termev0= −1. 1 4.Pour toutn∈N, on a :un=1+. n 1+2
EX E R C IC E12 Soitn∈N,n>2. On considère la fonctionfndéfinie sur ]0 ;+∞[ par n−1 fn(x)=xlnx. On appelleraCnla courbe représentant la fonctionfndans un repère du plan. 1.Quelque soitn∈N,n>2, les courbesCnpossèdent l’axe des ordonnées pour asymptote. 2.Soitx∈lim]0 ; 1[. On a fn(x)= −∞. n→+∞ 3.Quelque soitn∈N,n>2, les courbesCnpossèdent une tangente commune au point d’abscisse 1. n n X 1−x 4.Soientx∈]1 ;+∞[ etn∈N,n>2, on afk(x)= ×lnx. 1−x k=2
EX E R C IC E13 Soitnun entier supérieur ou égal à 2. On considère deux urnesU1etU2contenant chacunenboules blanches etnboules noires. On jette un dé cubique équilibré dont les six faces sont numér otées de 1 à 6. – Si le résultat est pair, on prélève au hasard, successivement avec remise inter médiaire, deux boules deU1. – Si le résultat est impair on prélève au hasard, successivem ent sans remise in termédiaire, deux boules deU2.
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On appelleNl’évènement « obtenir deux boules noires ». (N) la p On désigne parp(N) la probabilité de l’évènementN,pU1robabilité de l’évè nementNsachant que les deux boules tirées proviennent deU1,pU(N) la proba 2 bilité de l’évènementNsachant que les deux boules tirées proviennent deU2. 1 1.La probabilité d’obtenir deux boules noires deU1est . 8 p(N). 2.Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on apU(N)=U2 1 3.limp(N)=limp(N). U1U2 n→+∞n→+∞ 4n−3 4.Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on ap(N)=. 8(2n−1
EX E R C IC E14 Une usine fabrique des détecteurs de fumée. Ces détecteurs disposent chacun d’une durée de vie aléatoire (en mois) représentée par une variable aléatoireT. +∗ Cette variable suit une loi de probabilité exponentielle de paramètreλoùλ∈R, dont la loi de densité est la fonctionfλdéfinie par :fλ(t)=0 pourt60 et −λt fλ(t)=λe pourt>0. Les tests indiquent qu’un détecteur donné a 1 chance sur 2 de tomber en panne à la fin de son premier mois de bon fonctionnement. En cas de panne, le détecteur dé faillant est immédiatement remplacé par un détecteur neuf. Un contrôle est effectué chaque mois après l’installation du premier détecteur. On admet que le fonctionne ment des détecteurs est indépendant d’un détecteur à un autre. On désire équiper une petite salle avec l’un de ces détecteurs de fumée. 1.λ=ln 2. 2.La probabilité de changer au moins une fois le détecteur lors de l’un des deux premiers contrôles est égale à 1. 3.ors de l’un desLa probabilité de changer le détecteur une fois et une seule l 5 cinq premiers contrôles est égale à . 32 4.étecteur ne soitPour tout entier supérieur ou égal à 1, la probabilité que le d 1 pas changé lors desnpremiers contrôles est égale à . n 2
EX E R C IC E15 ³ ´ −→−→−→ L’espace est muni d’un repère orthonormal O,ı,,k. On considère les points A(−1 ; 2 ; 4), B(0 ;−2 ; 3), C(7 ; 1 ;−1) et D(−2 ;−2 ;−13). On appellePle plan médiateur de [AB], c’estàdire le plan contenant le s points équidistants de A et de B ou aussi le plan perpendiculaire à [A B] contenant le milieu de [AB]. On appelleQle plan médiateur de [CD]. 1.Le vecteur de coordonnées (8 ;−1 ;−5) est normal àQ. 2.Le planPa pour équationx+4y+z+4=0. 3.A, B, C et D appartiennent à une même sphère de centreΩ(−1 ; 2 ;−5). −−→−−→ 4.L’ensemble des pointsMtels que AM∙BM=0est la sphère de diamètre [AB].
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P:x+y=0
1.Pest une droite.
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Q: 2x−y−z−1=0
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R:z=1.
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2.L’ensemble des points appartenant à la fois àPet àRest une droite. 3.PetQsont perpendiculaires. µ ¶ 2 2 4.P,QetRse coupent au point A ;−; 1 . 3 3
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