a=−2−2i ;b= 2;c= 2 + 4i;d=−2 + 2i. a..maemolrglle´unstrapaADeBC π b.Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle−, est 2 un point de l’axe des abscisses. c.Soientf= 6i−4 et F le point d’affixef. LetriangleCDFestrectangleetisoc`eleenD. d.Soientg=−2i et G le point d’affixeg. LetriangleCDGestrectangleetisoce`leenD. EXERCICE 2 −→−→ Leplancomplexeestrapporte´aurep`ereorthonormal(O, u, v). 5 a.´(e1e+l2tlieedresatp4a1ri)Le. b.inpoisrocoelqutsB,AseuqnalpudCtend’affixescnnoOreteis`d respectivesa, betc. L’e´criture(b−c) = i(a−crac)´tcasireenueceneitdehte´ohometdetreC rapport i. 20 c.e´rtse)i+1(.el 4 d.ontiuaeq’´Lz−snacnitdsetsse`eduq10=optionsdisatresoluC. EXERCICE 3 −→−→ Leplancomplexeestrapport´eaurepe`reorthonormal(O, v, u). Soient A le point d’affixea= 1−i et B le point d’affixeb= 2i−3. ` A tout pointMd’affixez, z=b, on associe le pointMd’affixe
z−1 + i Z=. z+ 3−2i a.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queZtseleengmee´rtseltios [AB]. b.Pour toutzdffie´erntde−3 + 2iet de−3−2i, on obtient la forme (z−1 + i)(z+ 3 + 2i alge´briquedeZpar le calcul: ). (z+ 3−2i)(z+ 3 + 2i c.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queMsoit un point de l’axe 2 1 25 2 desordonn´eesestlecercled’´equation(x++ 1)y−= ,sauf le point 2 4 B. z−1 + i d.Soitz0ulutinesotle’i´seeonndcenoitauqna(o=iexl’etdm z+ 3−2i d’une telle solution).
Concours FESIC 2004
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Le point M0d’affixez0ede[AB].tuesoinpedtn´malaidecirt EXERCICE 4 Soitfesniefid´uralofcnitnoRpar : x e,six <0 f(x) = cosx,six0 On appelleCfeuqisnadgnoihparupedn.lareunerp`oStiΓerrpastntae´es x larepr´esentationgraphiquedelafonctionexponentielle(x→−e ) dans le meˆmerepe`re. a.,sevseisscabtiga´esnatxudnnast’dopnioprltainoslnadpuesDpaoncorr Cfseegami’ltdexasesydeetm´eeril’staeixladenolta’exdeΓparlasym´etri abscisses. b.fest continue en 0. c.fivabd´erest.0neel d.tauqe´’Lniof(xeds`os0p)=lavrelnsl’intelutiondaseueelosueentenu ]− ∞;π]. EXERCICE 5 Ondonneci-dessouslarepre´sentationgraphiquedetroiscourbesC1,C2 etC3nction,lesdeuxaurtseostnen’dL.u’leelstserela´eprtnesoitau’dnofen lesrepr´esentationsdedeuxdesesprimitives.Onnote: •f1fanolapeerent´r´esnrepctioC1; •f2lnofaeeapresr´t´enioctepnrC2; •f3lfanor´esent´ceteipaornrepC3; 4
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2
1
0 C3 3 2 1 01 2 1 C2 2
3 C1 4
a.f1edemirpvitiesnetuf2. b.f3v´ee´eritladedesf1.
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Concours FESIC 2004
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c.itimelanlaarep´esalere`dlpecafruonsiOncocruebC3, l’axe des abs-cisses,l’axedesordonne´esetladroited’´equationx=−,ereaiL’1.se´tinun d’aire, de cette surface estf2(−1). d.Soitx∈R. SoientM1le point deC1d’abscissexetM2le point deC2 demˆemeabscisse. La distanceM1M2est constante. EXERCICE 6 Ondonneci-dessouslarepr´esentationgraphiquededeuxcourbesC1et C2. • C1errpe´estnuenefonctionfavlbserud´eriR; • C2norper´esentelafonctife´d,´viredeef. On appelleflaitnoofcnvie´´dreondeesecdefrid-a`-tire´daledeeev´c’es,f. 4
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2
1
C1
0 1 01 2 3 4 5 6 C2 1
2 a.Toute primitive def; 6].est croissante sur [-1 b.Luocatantesenepr´rbernocnitaloffcodentoieprlpasepsasee´nnodro (0 ;0). c.La fonctionfs’annule trois fois sur [−6].1 ; d.nsid`erelasurfacnOocrbouacrleilenalpeapee´timC2, l’axe des abs-cisses,l’axedesordonn´eesetladroited’e´quationx= 1. L’airedecettesurfaceest´egalea`celled’uncarr´eunit´e. EXERCICE 7 a.Soitflusrfiniend´ectioafonR+∗par :
Soientfetgctiosfonlecepserseinfie´dsnrsuntmevetiRpar : 2 x 1 f(xet) =g(x) =f(t) dt. 2 1 +xx a.L’image deRparfest ]0 ;1]. 2 b.Pour toutx∈R,0g(x)x−x. c.poetanplurusrnDnaerudpee`x0∈R, g(x0’airedelarper)letnese´ surfaceplanelimite´eparlacourberepr´esentativedef, l’axe des abscisses et 2 lesdroitesd’´equationx=x0etx=x. 0 2 d.gblesrivatd´eesruRet, pour toutx∈R, g(x) =f(x)−f(x).
EXERCICE 9 Soientl∈Ret (unuotsemreetcirtssr´teuiesate`llee)unposiment.tifs n∈N Pour les itemsa., b.etc., on suppose que (unvers) convergel. n∈N a.lest strictement positif. −3 b.Il existen∈Ntel quelsoitunevaleurapcorpee´hedunprs.`e01a` c.La suite (lnun) ,converge vers lnl. n∈N d.On suppose dans cette question que la suite (unv´erifie,opru) n∈N n∈N:un+1= lnunet queu0> u1. On ne suppose pas que la suite (un) converge. n∈N La suite (un).etanssoicr´etdes n∈N
EXERCICE 10 Onconside`relasuitecomplexe(zne´nfieiap:r)dz0= 1 et, pour tout n∈N 1 + i n∈N, zn+1=zn. 2 Pourn∈N, on appelleMnle point d’affixezndans le plan complexe d’origine O. 1 a.La suite (|zn|om´etriqsuiteg´eno.euedarsiseenut) n∈N 2 b.Quel que soitn∈N, les triangles OMnMn+1sont rectangles. c.Mntseussientsilemetdneas`et’rlexiaspiaeaspbacsnest un multiple de 4. nπ i e 4 d.Pour toutn∈N, zn= n. 2
EXERCICE 11 −→−→ Leplanestrapporte´a`unrepe`reorthonormal(O, , ı). Onconside`re,danscerep`ere,lespointsA(1;−; 3) et I milieu de1), B(5 [AB]. Soit (Gnlsaiuet:ra)efid´epnipodetsin n∈N •G0;= O •Pourn∈N, Gn+1secyrabeltusedtreneemt`ys{(Gn; 1); 1); (B; 2); (A}. Pourn∈N, on appelle (xn;yn)cselrdoon´onsdeeeGn. a.G1, G2et G3lign´es.snoat b.Quel que soitn∈N, Gn+1est l’image deGnetiedth´ehomo’lrap centre I et de rapport 2.