Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementl’espace)est −→−→ rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, , ı) = (Oxy) (respective- −→ −→−→ ment O, ı, k, = (Oxyz) ).
Exercice 1 SoitfcnitalofI=]esurefiniond´− ∞,1] par
f(x) = 2x1−x etCise´penglTranataesr´taenvetind.Ogente`alacourbeeperrbouacsCau point d’abscissex= 0. 2−3x a)Pour toutx <1, on a :f(x) =. 1−x 4 3 b)Pour toutx∈I, on a :f(x). 9 c)neenTedertcasi´eauqenoitts´enUy= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.
Exercice 2 Soitfetgsdontincfoesl]ru=Ieisse´nfi− ∞,1] par
−x x f(x) = ln(x+ 1) + eetg(x) = e−(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. −x e b)Pour toutx∈I, on a :f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+∞[. d)ree´inuqueunixtseellIαdans I tel quef(α) = 0.
Exercice 3 Soitfnfieiusr´endioctonaflRpar
x f(x) = (−x+ 3)e,
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etC´esereprurbesacovi.etnta a)Pour toutx >0, on a :f(x)−x+ 3. b)n´equatio’detiordaLy=0estabea`alocruyspmotetC. c)La fonctionfadmet un unique extremum. 2 d)eltr´etruoPuomnoitauql’´e=e,f(x) =madmet soit 0 soit 2 solutions.
Exercice 4 Soitfinfierapelafonctiond´ 2x x f(xe) = ln−1e +, Dtenotiniefid´desleemnbosneCperebruocas.tiveentar´es a)On a :D=R. −x−2x b)Pour toutx∈ D, on a :f(x) = 2x+ ln (1−e +e ). c)La courbeC’de´uqtaalrdioetadnmoeity= 2xcomme asymptote en +∞. d)La courbeCangequetaralntepamdueintenule`lla`eexa’O(x).
Exercice 5 ∗ Soitfsurlfanotcoidne´nfieiRpar 2 f(x) =xsin. x 4 4 a)On a :f= . π π b)On af(x) = 0 si et seulement s’il existe un entier relatif non nulktel 1 quex= . kπ c)On a : limf(x) = 1. x→0 d)On a :limf(x) = 2. x→+∞ Exercice 6 Pourtoutcoupleder´eelsaetbtels que (a, b)= (0,´enditfin,o0)usr ]0,+∞[ la fonction
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lnx fa, b(x) =ax+b+ x et on noteCa, basocru.entseivatrebe´epr a)Pour tout couple (a, b)= (0,auit´’qetidedaor0),lony=ax+best asymptotea`lacourbeCa, b. b)Pour tout couple (a, b)= (0,lim0), on a :fa, b(x) =b. + x→0 c)Il existe une unique courbeCa, bssanpalepotparesocedAtnie´nnodro (1, 1). d)Il n’existe pas de courbeCa, baptnpelrpassaoordonn´ointBdecees (1,ntgeanetunnBteandala`ele`llarapetionequaed’´roittedaemtt)0y= 2x.
Exercice 7 Soitnun entier naturel non nul etIninperaefid´ 1 n In+= (1x) ln(1 +x)dx. 0 a)Pour toutx∈[0 ;1], on a : 0ln(1 +x)ln 2. b)Pour toutn∈N∗, on a : 0In2 ln 2. c)La suite (In)∗et.ssnarciodte´es n∈N d)La suite (In)∗converge vers 0. n∈N
Exercice 8 Soitnun entier naturel non nul etIniefinrpa´ed 1 n1−x In=xe dx. 0 a)On a : I1= e−1. b)La suite (In)∗est croissante. n∈N 1 e c)Pour tout entiern >0, on a :In. n+ 1n+ 1 d)La suite (In)∗ne tend pas vers 0. n∈N
a)La fonctionFest positive pour toutxpositif. 12 1−x b)Pour toutxr:o,ane´leF(xe) =−1. 2 2 1−x c)Pour toutx,oel:nae´rF(x) =xe−1. d)limOn a :F(x) = +∞. x→+∞ Exercice 10 Onconside`relasuite(Sn)∗luterreanneittoutpournie,d´efinnon nul, n∈N par n k1 2n Sn= =+ +. . .+. 2 22 2 n nn n k=1 n+ 1 a)Pour tout entiern >0, on a :Sn= . 2n 1 b)Pour tout entiern >0, on a : 0Sn. 2 c)limOn a :Sn= 0. n→+∞ d)La suite (Sn)∗est croissante. n∈N Exercice 11 Soitfdnoitcnofalrsuiefin´eRpar x f(x) =−1−e. 1 a)Pour toutx−1, on a :−f(x)0. e b)noit’´Luaeqf(x) =xadmet deux solutions surR. Onde´signeparαesquni’unnioutolevitage´uqe´’ledoitlanf(x) =xet on conside`relasuite(unionder´erlarelate´nfieiap)decnerrucun+1=f(un) n∈N pour tout entier natureln, et de premier termeu0−1. c)Pour tout entier natureln, on a :un−1. 1 d)Pour tout entier natureln, on a :|un−α||u0−α|. n e Exercice 12 Onconsid`erelenombrecomplexe
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2 iπ 3 Z=−e. 1 + i a)On a :|Z|= 1. iπ b)On a :Z=−(1−i)e . 3 iπ c)Ler´eel−esanutmugrdtneeZ. 12 13iπ d)On a :Z= e. 12
Z=zz+zz . a)Siz= 2i etz=−1, alorsZ= 4i. iπ3iπ b)Siz= eetz= e, alorsZ= 0. 4 4 c)Siz=z, alorsZ= 2|z|. d)Sizest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθetzest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθ, alors Z= 2rrcos (θ−θ).
Exercice 14 Soitαetrappalee´rnualletervl’innant0[, π] et (Eαcoinuenntiuad’on´’qel) complexez
2 z+ 2(sinα)z+ 1 = 0(Eα) a)Pour toutα∈[0, π(nE,]’le´uqtaoiα) admet deux racines complexes conjugue´esdistinctes. b)Il existe une unique valeur deα∈[0, π] pour laquelle i est solution de (Eα). c)Pour toutα∈[0, π´’qeauitnoE(],lα) a pour solutions :
z1= sinα−i cosαetz2= sinα+ i cosα. d)Pour toutα∈[0, π’le´,]n(ioatquEα) a pour solutions π π i i− (2) (2) z1et= ez2= e.
−→1−→1−→ AG= AB+ AC. 4 2 a)Le pointGudystneremedtse`estrycelebapotsinpoesr´´end {; (B, 1); (C,2)(A, 1)}. b)L’applicationf:P → Pqui,`atooptutniMdu plan, associe le point Mranfidpidne´pual −−−→−−→−→−→ M M=MA +MB + 2MC. estl’homoth´etiedecentreGet de rapport 3. c)Le pointGduselieut[ICgmenlupe,]`oeItsiotnmileeuliduimeltse segment [AB]. d)Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alorsGA =GC.
Exercice 16 SoitCrae´pee´rtamareprbouacl t−t x= 2e+ e t−t y= 2e−e o`uleparame`trete´ditcrRSoitM(odnne´sedeorcoa;b) un point deC. −→ a)Le vecteurv(dee´sedonncoorb, a) est un vecteur directeur de la tangentea`Cau pointM. b)SoitNiotnedocroodnne´(eslepb;a) etTe´dtpinfilerainpo −→−−→−→ OT= OM+ ON . Alors la droite (M Testl)erbuocala`etnegnataCau pointM. c)La courbeCensineacnoe´trqe´’itauacourbednuedanslsectnoet 2 2 x−y= 4. d)La courbeCn’a pas d’intersection avec l’axe (Ox).
Exercice 17 Onconsid`ereunesuccessiondesacsqu’onde´signeparS1, S2. . ,S, .n, ...Aude´part,lesacS1; tous lescontient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S1, que l’on place dans le sac S2. Puis, on tire au hasard un jeton du sac S2, que l’on place dans le sac S3, et ainsi