1 1 f(x) =−x+ 1 +. 3|x|+ 1 Detononenseledesbminit´dfieCacseperrbouatnese´r.evit ∗ Vrai Faux On a :D=R. 1 VraiFauxLadroiteΔd’e´quationy=−xtomp`atees+1sytaC. 3 Vrai Faux La courbeCest au-dessus de Δ. 1 1 Vrai Faux Pour toutx >−1, on a :f(x) =−. 2 (x3+ 1)
2. Soitfofalitcn´dnoefiniepar:
1 f(x) =−x. x−1 Vrai Faux La restriction defvretni’l1;0[ella`aeduneb[esttionijec [0 ; 1[ sur−+1 ; ∞[. Vrai Faux La restriction defal`nt’i;1+reavll]e∞[ admet une r´eciproquede´finiesurR;+]1nsdarseualva`te∞[. 1 VraiFauxL’e´quation1+=xadmet une unique solution. x Vrai Faux Pour touta <l’0,nioatqu´ef(x) =aadmet deux solutions distinctes.
3. Soitfioct´endiefinrsulfanoRparf(x) =xsinx,Csa courbe repre´sentativeetΔladroited’e´quationy=x. Vrai Faux La fonctionfellefi’le´uqve´ir´erentieationdiffy+ycos= 2 x. Vrai Faux La courbeC-scom´tinfinietniopedeoidrlaetunntΔote muns. VraiFauxLadroiteΔesttangente`aCen chacun de leurs points communs.
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4.
VraiFauxLadroiteΔd’e´quationy=−xnte`asettnaegC.
Soitfcnofnoitfie´dpeinarla
2
f(x(ln) = ln |x|), Dtenoitinfie´ededblemnsnesoCocasvi.entat´esereprurbe ∗ Vrai Faux On aD=R. 1 Vrai Faux Pour toutx∈ D, on a :f(x) = . |x|ln|x| VraiFauxUnee´quationdelatangentea`Cau point d’abscisse e est x−e y= . e VraiFauxPourtousr´eelsaetbe´vafiirtnb > ae, on a :
f(b)−f(a) 1 > . b−ae
5. Pour entier naturel,ncnitno1,onconsid`erelafofnIur´dfieinse = ]−+1 ; ∞[ par
n fn(x) =xln(1 +x). etonde´signeparCnbrrecauosenepe´rdevetitalfn. Vrai Faux Pour toutn1, la courbeCnpasse par le point de coor-donn´ees(1;ln2). Vrai Faux Pour toutn1 et pour toutx∈1] , on a[0 ; fn+1(x) fn(x). Vrai Faux Pour toutn1, on af(x) = 0. n Pour toutndno,ise´peng1raanle coefficient directeur de la tangente `aCnau point d’abscisse 1. Vrai Faux La suite (anest)´mte´goe.eiruq n1
Vrai Faux L’unique valeur dempour laquellex= 0 est solution de l’´equation(Em) estm= 0. Vrai Faux Pour toute valeur demuati’´eq,lnoE(m) admet au moins une solution. Vrai Faux Si−1< m <l,0on(E’´equatim) a deux solutions positives. Vrai Faux Sim >tauq(noi,0e´’lEm) a une unique solution.
Onconside`rel’e´quation(E)suivante:
sinx= 3 cos 2x. VraiFauxL’´equation(E)este´quivalentea`l’e´quation
2 (E ) 3 sinx+ sinx−3 = 0. VraiFauxL’e´quation(E)admetquatresolutionsdansR. VraiFauxL’´equation(E)admetdeuxsolutionsdansl’intervalle[−π;π]. VraiFauxL’e´quation(E)admetdeuxsolutionsdansl’intervalle[−π; 0], 2 2π dont le produit vaut . 9 x −t 8. SoitFtcoidne´nfieiusIr=[0;+lonaf∞[ parF(x) =te dt. 0 (Onnechercherapas`acalculerdirectementF.) Vrai Faux La fonctionFest positive et strictement croissante sur I. 1 Vrai Faux Pour toutt0, on a :tt+ . 4 x 1 5 5 −t−x Vrai Faux On a :td+ e t=−x.+ e 04 4 4 5 Vrai Faux Pour toutx∈:I, on a F(x). 4 x ln(2t) 9. Pour, on pose :F(x) = dt. 2 t 1 ln(2x) Vrai Faux Pour toutx >:0, on a F(x) =−ln 2. 2 x 1 Vrai Faux Pour toutx∈on a; 1 , F(x)<0. 2
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ln(2x) 1 Vrai Faux Pour toutx >0, on a :F(x) =− −+ ln(2) + 1. x x Vrai Faux On a : limF(x) = ln(2) + 1. x→+∞ 1 1 2 2 10. On pose : I =tcos (πt) dtet J =tsin (πt) dt. 0 0 Vrai Faux On a : I>0 et J>0. Vrai Faux On a I + J = 1. 1 Vrai Faux On a : I−J =tcos(2πt) dt. 0 1 Vrai Faux On a : I = J = . 2
4
11. Soit (an) et (bnerldsmee´eliereuirppsrea´enlfideu)tesrxsui n∈Nn∈N termea0= 2, b0= 4, respectivement et les relations, pour tout entier natureln, 1 1 an+1= (an+ 3bn) etbn+1= (3an+bn). 4 4 Ond´esigneparAnetBnlespsdelointroeia’ex’dbatne´seisscanetbn respectivement. Vrai Faux La suiteun=an+bnest constante. Vrai Faux La suitevn=an−bne.ntgeernvoceuqsiertee´nmuotet´iugse Vrai Faux Pour toutn∈N, les segments [AnBn]o,limeIueieltnmeˆm qui est le point de (Ox) d’abscisse 3. 1 1 Vrai Faux Pour toutn∈N:, on a an= 3−etbn= 3 + . n n 2 2 1 12. Soit (untreiemreisraondeetemprmoe´gee´euedrtqi)suitune n∈N 3 u1= 2. Pour tout entiern1, on posevn= ln (un). 2 Vrai Faux Pour toutn1, on aun= . n 3 Vrai Faux La suite (vn,taesthrietm´d,reqieuni)aos−ln(3). n∈N Vrai Faux Pour toutn:1, on a n 1 uk=u1+u2+∙ ∙ ∙+un= 3 1−. n+1 3 k=1
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Vrai Faux Pour toutn1, on a : n 1 1n vk= (v1+v2+∙ ∙ ∙+vn) = ln(2)−ln(3). n n2 k=1
iθ 13.Pourtoutr´eelθ∈[0 ; 2π[, on poseZ(θ) = 1 + e . On a : ππ i Vrai FauxZ= e . 3 3 Vrai Faux pour toutθ∈2[0 ; π[,Z(θ) =Z(−θ). θθ i Vrai Faux pour toutθ∈[0 ; 2π[,Z(θcos e ) = 2 . 2 2 θ Vrai Faux pour toutθ∈[0 ; 2π[, arg[Z(θ[2)] = π]. 2
14.
Soit(E)l’´equationd’inconnuecomplexe
z:
2 z−4z−5 = 0. Vrai Faux Siz0est solution de (E), alorsz0est aussi solution. VraiFauxL’´equation(E)admetunesolutionimaginairepure. VraiFauxL’´equation(E)admetdeuxsolutionsre´elles. VraiFauxL’e´quation(E)admetexactementdeuxsolutionsdansC. 1 15. Soita∈;)l(Eeteitauqe´’ocni’dnocompnnuelexez: e 2 z−2zln(a) + 1 = 0.
5
Ond´esigneparMetNles points du plan dont les affixes sont les racines de (E). Vrai Faux Les pointsMetNosystnte´muqiresparrapport`al’xaree´le (Ox). Vrai Faux Les pointsMetNistnosrusse´utrclelecentredeceeOt de rayon 1. Vrai Faux Il n’existe aucune valeur deatelle queMetNsoient sym´etriquesparrapporta`l’origine.
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16.
SoitAlepointduplandecoordonn´ees(−1 ; 0). Vrai Faux On a : AM <2.
6
Pournentier naturel non nul, on note (Cnap:rm´etr´eeluarcboepara) x(t) = sin(t) , y(t) = cos(nt) autrement dit, l’ensemble des pointsM(tee(sno´noodrd)cen(sit),cos(nt)), pourt∈R. Vrai Faux La courbe (C1) est un cercle. 2 Vrai Faux La courbe (C2arapolab’´eduaeqitno)ltsey= 1−2x. Vrai Faux Pour toutn1, l’axe (Oytr´eymes(urpoiedexatse)Cn). Vrai Faux Pour toutn1,(Cn) admet au point M(0) une tangente paralle`le`al’axe(Oy).
17. Pourm∈Rt`emelinerelesysvina,ta`e´iaerusniertauq-nocnocn`diso, nuesa, b, c, d: a+b−c+ 2d= 2 2a+ 4b−6c+ 2d= 0 Sm −a+b−3c−9d=−1 a−2b+ 5c+ 13d=m+ 2 Vrai FauxPourm=−,2elystse`emSmadmet un unique quadruplet solution. Vrai Faux Pourm=−eemt`yses,l2S−2e´tinfinienutemdadequa-druplets solution, qui sont de la forme : (7−k; 2k−3 ;k−u`o)1 k∈R. VraiFauxDansl’espace,l’ensembledespointsdecoordonne´es: x= 7−k y= 2k−3ou`kde´rctiR, est un plan. z=k VraiFauxDansl’espace,l’ensembledespointsdecoordonn´ees(x, y, z) telles quex= 7−zest une droite.