Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2004 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Avertissement Les trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit une valeur particulière de la fonction étudiée dans les parties II et III. Partie I - Calcul de la somme d'une série I.A - I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction -périodique impaire : , nulle en et , et égale à sur . Pour tout entier , expliciter la somme partielle de Fourier de . I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ? En déduire la valeur de . I.A.3) Calculer . I.B - I.B.1) Préciser le domaine d'existence dans de . Exprimer à l'aide de fonctions usuelles. I.B.2) Calculer l'intégrale . I.B.3) En déduire la valeur de . F 2π f IR IR? 0 π 1 ]0,π[ n 0≥ Sn f f Sn f( ) S 1–( ) n 2n 1+ --------------- n 0= ∞ ∑= S1 1 2n 1+( )2 ----------------------- n 0= ∞ ∑= IR L x( ) x 2n

d1f df

dérivée partielle

∂f ∂x

somme partielle de fourier

filière mp

tz z

rayon de convergence

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Dérivée partielle Rayon de convergence

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2002

1/4

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure

géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue

que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie

concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues

périodiques

ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-

tats des parties I et III pour montrer que la fonction

n’est dérivable en aucun

point de

On note

et on désigne par

l’espace des fonc-

tions de

dans

qui sont continues et

périodiques.

on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour

par

, la série de Fourier (formelle) de

étant

Partie I -

Définition de la fonction

I.A -

On suppose l’espace

muni de sa structure euclidienne canonique. On

définit

par :

où

est la projection orthogonale de

sur la droite passant par

I.A.1)

On suppose

et l’on pose

où

Que représentent les points

par rapport au triangle

I.A.2)

Montrer que si

alors

I.B - Pour

on pose

et on définit par

récurrence pour

la suite

par

I.B.1)

Soit

. Montrer que, si l’on a

, alors

]0,

[

→

–

]0,

[

∗

\ 0

{

}

∗

\ 0

{

}

–

∈

(

)

-----

(

)

–

∫

–

(

)

∈

∑

→

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

–

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

≠

(

)

(

)

–

(

)

′

(

)

′

–

(

)

′

(

)

(

)

(

)

′

ABC

(

)

(

)

≠

–

(

)

–

(

)

-------------------------------

–

(

)

–

(

)

-------------------------------

]0,

[

∈

(

)

cotan

, ,

(

)

∈

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∈

]0,

[

∈

(

)

(

)

(

)

(

)

–

Voir