Composition de Physique 2007 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Interne)
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2008
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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Interne). Sujet de Composition de Physique 2007. Retrouvez le corrigé Composition de Physique 2007 sur Bankexam.fr.
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Lobjet du problème est de présenter les aspects classiques dune nouvelle méthode de mesure « mécanique » de la constante de Planck h. Dans la partieA, après avoir présenté un moyen de réalisation dun champ magnétique radial dans un plan, on précise les conditions de mesure par pesée, dune force de Laplace. La partieB aborde les conditions dapparition et de mesure dune force électromotrice dinduction créée dans un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire. La partieCrassemble ces éléments pour relier h à une masse et à des grandeurs cinématiques. Des questions pédagogiques associées au thème de lénergie sont proposées auD. Enfin, on sintéresse dans la partieE au principe optique de mesure dun déplacement afin dillustrer lune des mesures cinématiques à haute exactitude utiles à lexpérience. Quatre des cinq parties comprennent le mot « mesure » dans leur intitulé. Il sera donc tenu le plus grand compte des capacités démontrées par les candidats à prendre en compte, commenter, illustrer, le cas échéant de façon numérique, les aspects expérimentaux. Les différentes parties sont assez largement indépendantes. Au sein de chacune d’elles, de nombreuses questions le sont également ; d’autres peuvent être résolues en admettant, si besoin, les résultats précédemment donnés dans l’énoncé.
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1.
Partie A : Mesure dune force de Laplace
Création dun champ magnétique radia . l
1.1. On considère une bobine circulaire planeC1, de centre A. On note Az laxe perpendiculaire au plan de la bobine en son centre, il est appelé « axe de la bobine ». Cette bobine, dont on néglige lépaisseur, est composée de n1 jointives de spires rayon R1 (figure 1.a). Elle est parcourue par un courant dintensité constante I1. On r note B1(M) le champ magnétique créé parC1en un point M de lespace.
C1
a. En présentant avec soin la méthode utilisée, montrer que lon peut r écrire : B1(M)=B1r(r, z)err+B1z(r, z)erzet z sont les coordonnées cylindriques; r dorigine A et daxe Az et on introduitrez vecteur unitaire de laxe Az et le rer=Az.surdeMoinejtcporealréepntseoùrHMHMH r b. BMontrer que, pour M appartenant à laxe Az,1(M) est colinéaire au vecteur ez.
c.
Champ sur l’axe et on 1.a.: le courant est algébrisé comme lindique la figure choisit I1Représenter graphiquement lallure de la variation de> 0. B1z avec(0, z) la coordonnée z, pour M vérifiant AM=zrez. Le calcul de B1z pas(0, z) nest demandé.
d. On choisit toujours I1> 0. Dessiner la carte des lignes du champ r magnétique B1quelconque contenant laxe Az. On précise que dans un plan (M) , les lignes de champ magnétique doivent être orientées.
I1
z
r ez
A
figure 1.a
C1
C’1
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I1
I 1
z
A
O
A
figure 1.b
1.2. On considère une deuxième bobine circulaire planeC’1, de centre A et daxe Az, identique à la précédente (n1spires jointives et de rayon R1), parcourue par un courant dintensité constante I1algébrisé comme lindique la figure 1.b. On impose et I1= I1. Les deux bobinesC1 etC’1 sont perpendiculairement placées au même axe AAz. O est le milieu du segment AA ; on note OA= −OA'=aevz (a > 0) (figure 1.b). On suppose que r et z sont les coordonnées cylindriques dorigine O et daxe Oz. r On note B0 champ (M) lemagnétique créé en un point M par la superposition des contributions des deux bobines. On suppose I1> 0. Les deux bobinesC1 etC’1 sont donc parcourues par des courants de sens opposés.
a. Montrer que lon peut écrire pour tout point M, comme au1.1.a.de cette r r r partie : B0(M)=B0r(r, z)err+B0z(r, z)erz. Etablir que B0(O)=0 . b. Soit (Qmbobines (plan perpendiculaire à Oz en O). Montrer) le plan médian des que, dans le plan (Qm B), le champ magnétique0est « radial ».
r c. Dessiner soigneusement la carte des lignes du champ magnétique B0, dans un plan quelconque contenant laxe Oz. On considère toujours I1> 0. Examiner en particulier lallure des lignes de champ, au voisinage du point O et du plan (Qm).
On rappelle que les lignes de champ magnétique doivent être orientées. d. Champ dans le plan(Qm) : représenter graphiquement lallure des variations de B0r la coordonnée r, pour un point M du plan ((r,0) avecQm) vérifiant OM=rerr; le calcul de B0r(r,0) nest pas demandé. Justifier en particulier que le module de B0r(r,0) présente un maximum B0maxune certaine valeur de r notée R, pour max; on ne demande de déterminer ni B0maxni Rmax. 2. Force de Laplace. On considère dans cette question un circuit électriqueScomposé dune spire circulaire plane de centre C, de rayon R, et daxe CZ. Il est parcouru par un courant dintensité I maintenu constant et supposé positif ; lalgébrisation du courant est précisée sur la figure 2. 2.1. Ce circuitSest placé dans un plan horizontal (Qm centre O, où règne un champ) de r magnétique B0« radial » de centre O, cest-à-dire un champ vérifiant, en tout point r M du plan : B0(M)=B0r(r,0)erroù r = OM et OM=rrer mais pas(Cest, par exemple nécessairement, le champ créé dans leur plan médiateur par lensemble des deux bobines étudié au1.2.de cette partie). La spireSest centrée en faisant coïncider les points C et O. Laxe CZ, de vecteur unitairereZ=rez, est aligné sur laxe Oz orthogonal en O au plan (Qm) :les coordonnées Z et z sont confondues ; l’axe commun est, de plus, orienté selon la verticale ascendante.
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a. Soit P un point particulier de la spireS, et dOP un élément de circuit situé en P. Donner lexpression de la force de Laplace élémentaire exercée par le r champ B0sur lélément dOP . r b. En déduire que la spireS Fest soumise à une force de Laplace verticaleLdont on donnera lexpression vectorielle en fonction de R, B0r(R,0) , I tr e ez.
c.
On suppose, pour tout r, B0r(r,0)<0 . Quelle est alors lorientation de la force r FL?
S
I
O
C
figure 2
Z z
r B0(M)
(Qm)
2.2. en dessous de lun des plateauxPour mesurer la force ci-dessus, on suspend le circuit dune balance à fléau symétrique. Lorsque I = 0, léquilibre est assuré par une tare placée sur lautre plateau. Pour un courant I différent de 0, léquilibre est rétabli en plaçant sur le plateau situé au-dessus deSune masse mL. On se placera dans le cas où le champ magnétique dans le plan(Qm) estet dirigé vers O, cest-à-dire que radial B0r(r,0)<0 . a. Proposer un schéma de principe annoté du dispositif expérimental décrit ci-dessus. b. Montrer que mLdoit satisfaire léquation [1] : mL= −2πRIB0r(R,0) [1] g où g désigne le module de laccélération de la pesanteur. c. Application numérique: R = 10,0 cm, g = 9,81 m.s-2, B0r(R,0)= −0,90 T , I = 8,70 A. Déterminer mL.
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2.3. Il est possible de généraliser lexpression [1] lorsque le circuitSnest plus une simple spire plane mais un circuit fermé filiforme parcouru par un courant dintensité I, et r que la carte des lignes de champ de B0est quelconque.
r a. BDonner lexpression de la force de Laplace exercée par le champ0sur le circuit Ssous la forme dune intégrale curviligne le long deS. b. Un système mécanique, non détaillé ici, permet de compenser les forces exercées perpendiculairement à la verticalerez. On suppose de plus que le point dapplication de la force de Laplace est à la verticale du centre de masse de la masse mL. Exprimer mL. On appelle [1] léquation obtenue.
2.4. On considère à nouveau le cas oùSest une spire circulaire plane horizontale dans la configuration de la question2.1.de la partie A. La géométrie du champ r magnétique B0est identique à celle décrite dans la question1.2.de cette partie.
a. Le passage prolongé du courant I maintenu constant peut contribuer à augmenter la valeur du rayon R. Expliquer pourquoi. b. variationLorsque R augmente dune petite quantité dR, établir lexpression de la dFLz la composante, notée F deLz, suivant z de la force de Laplace en fonction notamment de B0r(R,0) et de∂B0r hormis(R,0) . La situation et la géométrie ∂redS, R, restent inchangées.
c. champ magnétique relative à son flux etRappeler la propriété fondamentale du donner léquation locale qui traduit cette propriété. d. nopquxerpuetdRdimerFertronMLzen fonction de I, R et de la dérivée partielle par rapport à z de la composante verticale du champ, prise en un point du plan (Qm) vérifiant r = R. En déduire que : 1 dFLz= −1∂B0z On rappelle(R,0) . FLzdR B0r(R,0)∂z r quen coordonnées cylindriques, la divergence dun champ de vecteur B sécrit : div(B)=1∂(rBr)+1∂Bθ+ ∂Bz. r∂r r∂θ ∂z
e.
En considérant notamment la carte du champ donnée au1.2.c.de la partie A, peut-on prévoir le signe de la variation relative de FLzavec R ? Commenter. Exprimer F1ddFRLz lorsquon = R fait le choix particulier Rmax, identifié au1.2.d. cette de Lz partie.
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Partie B : Mesure dune force électromotrice dinduction Lorsquun circuit conducteur est déplacé dans une région de lespace où règne un champ magnétique, une force électromotrice (f.é.m.) peut être induite dans le circuit. La détermination dune telle f.é.m. pour un champ radial est étudiée dans le paragraphe2., partie qui peut être abordée directement. Au1. dinduction,, on se propose danalyser le phénomène en étudiant le mouvement dune charge, puis celui dune barre conductrice, dans un champ magnétique.1. Mouvements dans un champ magnétique uniforme et stationnaire. 1.1. Particulecette question une particule portant une charge: on considère dans électrique q, assimilée à un point matériel de masse mq. Cette particule est susceptible de se déplacer dans lespace. On repère sa position à laide de ses coordonnées x, y, z dans un repère galiléen orthonormé dorigine O et de vecteurs unitaires (erx, ery, ez les axes Ox, Oy et Oz. Laxe Oz matérialise la verticale ascendante) suivant de lespace. La particule, initialement située dans le demi-espace z > 0, sur laxe Oz, est animée dun mouvement rectiligne uniforme de vitesserv0=v0rez, avec v0<0 . A t = 0, elle pénètre dans le demi espace z < 0, vide également, mais dans lequel règne r un champ magnétique uniforme et stationnaire Bu=Burex.
r a. Donner lexpression de la force de Lorentz FBexercée par le champ magnétique sur la particule, en fonction de la vitesserv Bde la particule, de q et du champu. b. On suppose, dans toute la suite de cette question, quon peut négliger linfluence de la force de pesanteur sur la particule. Pourquoi ?
c. Montrer que, pour t > 0 et z < 0, la vitesse vr vreste de norme constante égale à0.
d. > 0Montrer que, pour t le mouvement a lieu dans un plan orthogonal à < 0, et z r Bu.
e. En déduire que le mouvement, pour t > 0 et z < 0, seffectue selon une trajectoire portée par un cercle de rayon Ru. Exprimer Ru.
1.2. Barre rigide: on considère une barre conductrice QQ, rigide, filiforme et de section négligeable, de centre Q0, de longueur 2ℓ. Cette barre est maintenue parallèle à laxe Oy par un système de guidage. Durant toute létude, y compris dans la zone où règne un champ magnétique, la barre a un mouvement de translation rectiligne uniforme avec une vitesse constanterv0=v0erz v avec ,0<0 ; son centre Q0 astreint à se est déplacer dans le vide le long de laxe Oz. A t = 0, la barre pénètre dans le demi espace z < 0, vide également, mais dans lequel règne un champ magnétique uniforme et stationnaire Bu=Buerx(figure 3).
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Q
r ex
r ez
Q0
O
figure 3
Q
r Bu
r ey
Pour t > 0, on suppose que le régime est permanent, quaucun courant ne circule dans la barre et que la conduction dans la barre est assurée par des électrons, de masse meet de charge q = - e. a. Expliquez qualitativement lapparition dun champ électrique dont laction sur les porteurs de charge compense exactement celle de la force magnétique. b. En utilisant la notion de champ électromoteur, montrer quil existe entre les extrémités Q et Q de la barre une différence de potentiel V=V(Q)−V(Q') que
H lon exprimera en fonction de v0, Bu etℓ. Pouvait-on prévoir le signe de VHpar lanalyse qualitative de la question précédente ? 2. Force électromotrice. On considère dans cette question, comme dans la question2. la partie A, un circuit de électriqueScomposé dune spire circulaire conductrice, de centre C, de plane indéformable, rayon R, et daxe CZ. Ce circuit est ouvert, et possède deux bornes A1 A et2 infiniment proches lune de lautre (figure 4).
A2 A1
S
O
Z z
C
figure 4
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B0(M)
(Qm)
2.1. Ce circuitS est placé, à linstant t = 0, dans le plan horizontal (Qm) passant par O, r dans une région de lespace où règne un champ magnétique B0« radial » de centre O, cest-à-dire un champ vérifiant, en tout point M du plan : r B0(M)=B0r(r,0)err et OMoù r = OM=rrer le champ créé dans(Cest, par exemple, leur plan médiateur par lensemble des deux bobines étudié au1.2.de la partie A). La spireSest centrée en faisant coïncider les points C et O. Laxe CZ, de vecteur unitairer r sur laxe Oz orthogonal en O au plan (, es alignéQm) :les eZ=ezt coordonnées Z et z sont confondues ; l’axe commun est, de plus, orienté selon la verticale ascendante. v t A le point C est animé dune vitesse = 0,r0=v0rez, avec v0<0 . a. dans = 0Montrer quil apparaît à tS différence de potentiel électrique une US=V(A1)−V(A2) entre les deux bornes A1et A2. b. Montrer que USvérifie léquation [2] :
US= −2πRB0r(R,0)v0 [2]
c. Application numérique: R = 10,0 cm, Déterminer la valeur absolue de US.
− B0r(R,0)=0,90 T ,
v0= - 12,0 mm/s.
2.2. est possible de généraliser lexpression [2] lorsque le circuit filiforme ouvertIl Snest r plus une spire plane, et que la carte des lignes de champ de B0 est quelconque. Donner lexpression de USsous la forme dune intégrale curviligne le long deS. On appellera [2] léquation obtenue. 2.3. On considère à nouveau le cas oùSest une spire circulaire plane horizontale. Divers phénomènes peuvent contribuer à augmenter la valeur du rayon R. La géométrie du r champ magnétique B0est identique à celle décrite dans la question1.2.de la partie A.
a. Lorsque R augmente dune petite quantité dR, exprimer la variation dUS de la différence de potentiel électrique US B, en fonction notamment de0r de(R,0) et ∂0situatio ∂rBr n(R,0) , la et la géométrie deS, hormis R, restent inchangées. b. En saidant des résultats de la question2.4. de la partie A, établir queU1SddRUS= −B0r)0,R(1∂B0z Commenter.(R,0) . z
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Partie C : Mesure de la constante de Planck Le même circuitSplacé dans les deux situations étudiées dans lesest successivement parties A et B. Dans la phase statique, on mesure donc la masse mL de satisfaire permettant léquation [1] du2. dans la phase dynamique on mesure la différence de ; la partie A de potentiel US léquation [2] duinduite par le mouvement, satisfaisant2.de la partie B. r 1. On suppose que ni la géométrie deS ni la carte du champ magnétique B0 nont évolué entre les deux expériences. 1.1. Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire :
2.
3.
USI= mLg v0 [3]
1.2. A quelsQuelle est la dimension des différents termes de léquation [3] ci-dessus ? domaines de la physique appartiennent-ils ? On dispose aujourdhui détalons électriques dorigine quantique extrêmement stables et reproductibles : - étalons de tension sur leffet Josephson, qui permet, moyennant la mesure basés dune fréquenceνhf située dans le domaine des hyperfréquences, de relier une tensionquelconqueàunmultipleentierde2hνhfoù h est la constante de Planck e et e la valeur absolue de la charge de lélectron ; - étalons de résistance sur leffet Hall quantique, qui permet de relier une basés résistance quelconque à un sous-multiple entier de h2. e 2.1. desA quelle partie du spectre des ondes électromagnétiques le domaine dit « hyperfréquences » correspond-il ? Indiquer, en fréquences et en longueurs donde, les ordres de grandeur correspondants. 2.2. rèApavsroiesprexsleénndotnasiudartsnoisdeuresmeslesUS et I utilisant les étalons électriques dorigine quantique, montrer que la relation [3] conduit à : hmLvg'0tante numérique pouvant être déterminée, etνhfet =Kνhfνhf, où K est une cons ν fréquences à mesurer lors de mesures de tensions.' deux hf 2.3. h fait intervenir la mesure duneAinsi, la détermination de la constante de Planck masse, et des mesures de grandeurs cinématiques : fréquence, vitesse, accélération Quel est lordre de grandeur de la meilleure incertitude relative avec laquelle de telles quantités peuvent aujourdhui être déterminées ?
Généralisation à un circuitSrigide, de forme géométrique quelconque. On se place dans le cas étudié au2.3.de la partie A et au2.2.de la partie B. En utilisant les expressions intégrales [1] et [2] trouvées respectivement dans les parties A et B, montrer que la relation [3] de la partie C reste satisfaite.
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Partie D : Le concept dénergie On se propose dans cette partie daborder quelques activités dordre pédagogique en lien avec le thème de l« énergie », à divers niveaux de formation. 1. Le programme de physique, enseignement obligatoire, des classes de terminale, série scientifique, évoque dans plusieurs domaines la notion dénergie. 1.1. Dans la partie, jointe en annexe, sur la « Propagation dune onde ; ondes progressives », le programme énonce lune des propriétés des ondes mécaniques progressives sous la forme suivante : « - la perturbation se transmet de proche en proche ; transfert dénergie sans transport de matière ». Construire une réponse argumentée faite à un élève de terminale qui, en fin dannée scolaire, sinterroge sur la nature physique de lénergie qui se transfère. On sappuiera sur lun des deux exemples suivants : la corde ou les ondes sonores. 1.2. du programme sur les aspects énergétiques de la partie sur l« ÉvolutionL extrait temporelle des systèmes mécaniques » est joint en annexe.
2.
a. Établir, comme vous le feriez devant des élèves de TS, les expressions de lénergie mécanique dun système solide-ressort et de celle dun projectile dans un champ de pesanteur uniforme. Vous ajouterez les commentaires de nature physique que vous feriez noter aux élèves. b. Etude expérimentale: dans le cas du système « solide-ressort » : - décrire, avec précision, un système expérimental utilisable en travaux pratiques avec les élèves de TS permettant lenregistrement des oscillations. - présenter les principales étapes dune exploitation de cet enregistrement visant à étudier : les transferts dénergie et la conservation ou non conservation de lénergie mécanique. Lextrait du programme de mécanique du point matériel de la voie PCSI des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques sur la notion dénergie potentielle dans les problèmes à un degré de liberté est donné en annexe. Proposer un exercice dapplication illustrant lintérêt de la notion dintégrale première de lénergie. On donnera successivement :
- lénoncé de lexercice, - un corrigé succinct.
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