Composition de mathématiques générales 2006 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

Epreuve ecrite de math ematiques g en erales
Pr eambule et notations pr eliminaires
Ceprobl emeintroduitlesop erateursdeDunkldeparam etrek dontonadmetlacommutativit e.
On etudie d’abord le cas k = 0, puis le rang 1 et enn certaines propri et es remarquables en
dimensionn.Onutilisecesop erateurspourd emontreruneformuledeMacDonaldsurl’int egrale
de Mehta.
Les deux premi eres parties sont ind ependantes. La troisi eme partie n’utilise que le I.2.
On d esigne par N l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls et par R l’ensemble des
nombres r eels.
Dans ce probl eme n est un entier sup erieur ou egal a 2. On note e
1
,...,e
n
la base
canonique de R
n
. On munit R
n
de sa structure euclidienne usuelle dont le produit scalaire est
not e (,).
On note R[X
1
,...,X
n
] l’alg ebre des polynˆ omes en n ind etermin ees a coecients dans R.
Tout polynˆ ome P de R[X
1
,...,X
n
] s’ ecrit de mani ere unique
P =
X
=(1
,..., n)∈N
n
a
X
1
1
...X
n
n
o u les a

sont des r eels nuls sauf pour un nombre ni d’entre eux.
Le polynˆ ome P etant x e, on note supp(P) l’ensemble des tels que aα
6= 0;
ainsi on peut ecrire P =
X
∈supp(P)
a
X
1
1
...X
n
n
.
Si P est un polynˆ ome de R[X
1
,...,X
n
], P d esigne aussi, par abus de notation, la fonction
polynomiale associ ee et on note P(x) l’ evaluation de P en x∈R
n
.
Le monˆ ome X
1
1
X
n
n
est de degr e
n
X
i=1

i
. Un polynˆ ome P non nul est dit homog ene de
degr e d si P est combinaison lin eaire non nulle de monˆ omes de degr e d. On note alors deg(P)
ce degr e.
On note le polynˆ ome
Y
16i<j6n
(X
j X
i
); il est homog ene de degr e
n(n1)
2

page 12Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
Si A et B sont deux op erateurs on note A
2
=AA et [A,B] le commutateur ABBA.
On rappelle la formule [A
2
,B] = [A,B]A+A[A,B].
On rappelle qu’il existe une action a gauche, not ee dans ce probl eme, du groupe sym etrique
S
n
sur R[X
1
,...,X
n
]. Pour ∈ S
n
et P =
X
∈supp(P)
a
X
1
1
...X
n
n
, cette action est d enie
par :
()(P) =
X
∈supp(P)
a
X
1
(1)
...X
n
(n)
.
On note aussi pour simplier

P =()(P).
On dit que P est sym etrique si on a

P =P pour tout ∈S
n
.
I Le cas classique
1. Soit P = X
1
1
...X
n
n
avec (
1
,...,
n
) ∈ N
n
. On note pour 1 6 i < j 6 n,
i,j
la
transposition (i,j). Calculer
P

i,j
P
X
iX
j

2. En d eduire que, pour tout polynˆ ome P de R[X
1
,...,X
n
] et pour toute transposition
i,j
(avec 16i<j 6n), P

i,j
P est divisible par X
iX
j
.
On dira qu’un polynˆ ome P est antisym etrique si, pour toute transposition ∈ S
n
, on a

P =P.
3. Soit un el ement deS
n
. On note () sa signature. Montrer que tout polynˆ ome P anti-
sym etrique v erie

P =()P.
4. Montrer que le polynˆ ome =
Y
16i<j6n
(X
j X
i
) est antisym etrique.
5. Soit P ∈ R[X
1
,...,X
n
] un polynˆ ome antisym etrique. Montrer qu’il est divisible par
dans l’anneau R[X
1
,...,X
n
].
Pour P polynˆ ome de R[X
1
,...,X
n
], on note P(∂) l’op erateur di erentiel obtenu en substi-
tuantauxsymbolesX
i
lesop erateursdi erentiels
∂
∂X
i
Cettesubstitutionestpossiblecar,pour
16i6n les op erateurs
∂
∂X
i
commutent deux a deux. Si P s’ ecrit
X
∈supp(P)
a
X
1
1
X
n
n
, on
a donc : P(∂) =
X
∈supp(P)
a

∂
||
∂X
1
1
...∂X
n
n
, avec || =
1 +...+
n
.
page 13Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
Si P et Q sont deux polynˆ omes, on note PQ leur produit et on v erie facilement (mais on ne
demande pas de le faire) que l’on a l’ egalit e d’op erateurs
(P Q)(∂) =P(∂)Q(∂).
Ond enituneformebilin eairesur R[X
1
,...,X
n
]not eeh,ietdonn eepourP etQpolynˆ omes
de R[X
1
,...,X
n
] par : hP,Qi =P(∂)(Q)(0,...,0) (on evalue en 0 le polynˆ ome P(∂)(Q)).
6. Soient P et Q deux polynˆ omes homog enes non nuls avec deg(P)6= deg(Q). Montrer que
l’on a hP,Qi = 0.
7. Pour P,Q,R polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
], montrer que l’on a
hP Q,Ri =hQ,P(∂)(R)i.
8. Montrer que la forme bilin eaire h,i d etermine un produit scalaire d eni positif sur
R[X
1
,...,X
n
] (on pourra travailler dans une base adapt ee).
9. Pour ∈S
n
et P,Q polynˆ omes de R[X
1
,...,X
n
], montrer que l’on a
h

P,

Qi =hP,Qi.
10. Montrer que l’on a h,i = ( ∂)() = 1!2! ...n!
(on pourra utiliser le d eveloppement du d eterminant de Vandermonde

1 X
1
... X
n1
1
1 X
2
... X
n1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 X
n
... X
n1
n

,
dont on admettra par ailleurs l’expression factoris ee).
II Op erateur de Dunkl en rang 1
Dans cette partie k d esigne un param etre r eel strictement positif.
Pour f ∈C
∞
(R), on d enit la fonction T(f) pour x6= 0 par :
T(f)(x) =f
0
(x)+k
f(x)f(x)
x
(on a not e f
0
la d eriv ee de la fonction f).
1. En utilisant la formule
f(x)f(x)
x
=
Z
1
1
f
0
(xt)dt, montrer que T(f) se prolonge en
une fonction de classe C
∞
sur R. On la note encore T(f).
page 14Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
2. Pour m entier positif ou nul, calculer T(pm
) o u pm
est la fonction polynomiale d enie
pour x∈R par pm
(x) =x
m
.
Pour f ∈C
∞
(R), on d enit la fonction V
k
(f) pour x∈R par :
V
k
(f)(x) =b
k
Z
1
1
f(xt)(1t)
k1
(1+t)
k
dt
avecb
k un r eel choisi de telle sorte que l’on aitV
k
(1) = 1. La fonctionV
k
(f) est clairement dans
C
∞
(R) (on ne demande pas de le v erier et on ne cherchera pas a expliciter b
k
).
3. Pour f ∈C
∞
(R), montrer que l’on a T

V
k
(f)

=V
k
(f
0
).
Pour∈R,onnotee

lafonctionexponentiellet7→ e
t
.OnposeE
=V
k
(e

)etJ

lafonction
d enie pour x∈R par J

(x) =
E

(x)+E

(x)
2

4. D eduire de ce qui pr ec ede que l’on a T(E

) =E

.
5. On suppose 6= 0. Montrer que l’on a, pour tout x∈R,
E

(x) =J

(x)+
1

dJ

dx
(x)
6. Montrer que J

v erie l’ equation di erentielle xy
00
(x)+2ky
0
(x) =
2
xy(x).
III Op erateur de Dunkl en dimension Cette partie utilise les notations pr eliminaires et la question I.2.
Dor enavant k d esigne un param etre r eel. On note R
+
le sous-ensemble ni de R
n
d eni par
R
+
=

e
ie
j

16i<j 6n

. Pour = e
i e
j ∈ R
+
(avec i < j), on note abusivement
X
= X
i X
j
et on ecrit

ou
i,j
la transposition (i,j) du groupe sym etriqueS
n
. D’apr es
la question I.2, on peut d enir une application lin eaire
de R[X
1
,...,X
n
] donn ee pour
Q∈R[X
1
,...,X
n
] par :

(Q) =
Q

i,j
Q
X
iX
j
=
Q

Q
X

Pour tout entier ‘ tel que 1 6 ‘ 6 n, on introduit l’op erateur de Dunkl d’indice ‘, not e
T
‘
(k) (on notera aussi T
‘
s’il n’y a pas de confusion possible), d eni pour tout polynˆ ome
Q∈R[X
1
,...,X
n
] par :
T
‘
(k)(Q) =
∂Q
∂X
‘
+k
X
16i<j6n
(e
‘
,e
ie
j
)
Q

i,j
Q
X
iX
j
=
∂Q
∂X
‘
+k
X
∈R
+
(e
‘
,)

(Q)
(on rappelle que (,) d esigne le produit scalaire usuel sur R
n
).
page 15Agr egation externe de math ematiques Math ematiques g en erales Rapport du jury pour la session 2006
1. SoitQunpolynˆ omehomog enenonnul.Montrerquepourtoutentier‘telque16‘6n,
le polynˆ ome T
‘
(k)(Q) est nul ou homog ene de degr e deg(Q)1.
2. Montrerquel’ona,pourtoutpolynˆ omeQ,tout∈S
n
ettoutentier‘telque16‘6n,

T
‘
(k)

Q

=T
(‘)
(k)

Q

.
Pour tout entier ‘ tel que 1 6 ‘ 6 n, on note M
‘
l’op erateur de multiplication par X
‘
. Pour
tout Q∈ R[X
1
,...,X
n
], on a donc
M
‘
(Q) =X
‘
Q.
On d enit l’op erateur D(k) par D(k) =
n
X
‘=1
T
‘
(k)
2
.