Composition de Mathématiques 2004 Classe Prepa PC Ecole de l'Air
2
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
2
pages
Français
Documents
2007
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
Examen du Supérieur Ecole de l'Air. Sujet de Composition de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Composition de Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.
Voir
Les trois parties de ce problème sont très largement indépendantes et peuvent se traiter dans un ordre indifférent.
Partie A
3 3 Rest rapporté à sa base canoniqueB= (e1, e2, e3)considère l’endomorphisme. OnudeR défini par sa matriceArelativement à la baseB,où la matriceAest donnée par: 8−1−5 A=−2 31 4−1−1 ◦ A 1Démontrer que les réels2et4sont deux valeurs propres deuet déterminer une base des deux sous espaces propres correspondants .
◦03 A 2Démontrer qu’il existe une baseBdeRtelle que l’endomorphismeuadmette relativement 4 3 0 0 0 à la baseBla matriceA4 0= 0. Onchoisira les coordonnées des vecteurs de cette 0 0 2 nouvelle base parmi1,0,−1
◦n A 3Soitn∈N.DéterminerAen fonction den. ◦1 A 4x, y, zdésignant trois fonctions réelles de classeC, déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle suivante: 0 x(t) = 8x(t)−y(t)−5z(t) 0 ∀t∈R, y(t) =−2x(t) + 3y(t) +z(t) 0 z(t) = 4x(t)−y(t)−z(t)
Partie B
◦2 B 1Déterminer les fonctions de classeCsurRà valeurs dansRtelles que 00 0 ∀t∈R, f(t) +f(t) +f(t) = 0(1) (les solutions ne doivent donc pas s’exprimer à l’aide de nombres complexes ) ◦ B 2Montrer que l’ensembleFdes solutions de(1)forme unRespace vectoriel dont on précisera une base(ϕ,ϕ). 1 2 Donner l’allure du graphe d’une solution non nulle de(1)
◦0 B 3Montrer que l’applicationD:f7→fest un endomorphisme deF. 3 Cet endomorphismeDest il diagonalisable? DéterminerD . ◦ B 4Soita∈Rnote. OnTal’application définie par : ∀f∈F,∀x∈R, Ta(f)(x) =f(x+a) Montrer queTaest un endomorphisme deF. Pourquelles valeurs du réelal’endomorphismeTa ◦ est il diagonalisable? Quelle propriété du graphe deftracé auB2peut on en déduire?
◦ B 5Déterminer l’ensemble des couples(λ, a)∈R×Rtels queD=λTa
. Partie C
2 2 Dans cette partie on noteE=C(R+,R)l’espace vectoriel des fonctions de classeCsurR+à 2 valeurs dansR.On considère le sous ensembleFdeEformé des fonctions réelles de classeC 2 surR+telles que la fonctiont7→f(t)soit intégrable sur[0,+∞[notera. On s Z 2 N2(f) =f(t)dt [0,+∞[
◦ C 1Soientfetgdeux éléments deF. Démontrer que la fonctiont7→f(t)g(t)est intégrable sur[0,+∞[ ◦ C 2Démontrer queFest unRespace vectoriel. ◦ C 3Soituune fonction réelle, continue surR+,admettant une limitel, finie ou non, lorsque xtend vers+∞.On suppose que la primitive nulle en0deu,notéeU,admet une limite finie L= limU(x)lorsquextend vers+∞.Démontrer quel= 0. x→+∞ 00 Dans ce qui suitfest une fonction deEtelle quefetfappartiennent àF. ◦ C 4Justifier que pour tousx, a, bappartenant à[0,+∞[: Z Z x x 2 0 00 00 [f(t)]dt=f(x)f(x)−f(0)f(0)−f(t)f(t)dt(2) 0 0 Z b 1 02 2 f(t)f(t)dt= ([f(b)]−[f(a)] )(3) 2 a 0 Montrer alors, en utilisant les deux égalités(2)et(3), que la fonctionfappartient àF.On pourra faire un raisonnement par l’absurde. ◦ C 5En déduire alors que les deux fonctions suivantes admettent une limite finie lorsquex→+∞: Z Z x x 0 000 x7→f(t)f(t)dtetx7→f(t)f(t)dt 0 0 0202 En déduire également que :limf(x)f(xlim) =f(x) =lim (f(x)) =0 x→+∞x→+∞x→+∞ ◦ C 6Montrer que pour toutt∈[0,+∞[: ³ ´³ ´ 0 2 2 0 00202 2 00 0 [f(t) +f(t) +f(t)]−[f(t[)] +f(t)]−[f(t)] =[f+f] (t) En déduire que Z ZZ Z 2 22 2 200 00 000 [f(t)]dt+ [f(t)]dt−[f(t)]dt= [f(0) +f(0)] +[f(t) +f(t) +f(t)]dt [0,+∞[ [0,+∞[ [0,+∞[ [0,+∞[ puis que 02 2002 N2(f)≤N2(f) +N2(f)(4)
◦ C 7En considérant, pour tout réelλstrictement positif, les fonctionsfλdéfinies par: √ fλ(x) =λf(λx),déduire de(4)que 1 022 2002 N2(f)≤N2(f) +λN2(f) 2 λ ◦ C 8Déduire de(5)que p 0 00 N2(f)≤2N2(f)N2(f)
◦ C 9Soitfune fonction solution de l’équation différentielle(1)de la partieB,et telle que: 0 f(0) +f(0) = 0. 00 Montrer quefetfappartiennent àF.En déduire que l’inégalité(6)ne peut être améliorée.
(5)
(6)
