Composition d'analyse et probabilités 2006 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)
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2008
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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition d'analyse et probabilités 2006. Retrouvez le corrigé Composition d'analyse et probabilités 2006 sur Bankexam.fr.
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´ Epreuve´ecrited’analyseetprobabilite´s
Notationsetde´finitions
Leprobl`emetraitedecertainespropri´ete´sconcernantlesracinesdepolynˆomesdontlescoeffi-cientssontal´eatoires. n •naDuotsepscame`e’e,leptlblroRnudiremasairescalduitupro´dleusueuqinonaci,sniefi n X x= (x1, . . . , xn) ety= (y1, . . . , yn), parhx, yi=xkykraseeelcdieinnaessco´i.Lanormeeu k=1 p note´e||x||=hx, xi. n n−1n−1n •`hpsaLnit´ereuedeRe´enatoserSitinnor’aCpstefie´.dS={x∈R,||x||= 1}. La n n n bouleunit´eferm´eedeRseranoee´tB={x∈R,||x||61}. n •La mesure de Lebesgue surRest´eeranoλn, voireλreuln’ys’id’amapastie´ibugvalauslr den. n n! •fficoescLenibstneiesxuaimorontnot´es=∙On pourra aussi utiliser la nota-k k! (n−k)! k tionC. n •Si (un)n>0et (vn)n>0o,slee´rserbmonee(quitndtesdxsuitdeusonun(rim´neeapdost)evn), et on noteun∈O(vn) ou bienun=O(vn), s’il existe une constanteCtelle que|un|6C|vn| a`partird’uncertainrang.
Partie I Asymptotiquedunombredez´eros
∗ Onde´finitdanscettepartiepourt >0 etn∈Nles trois fonctions n t 2(n1 ++ 1) p n n2 2 An(t) =, Bn(t() = t)−B(t). 2 2netδn(t) =An +2n t t+ 2nt 1 +−1 n On admettra provisoirement queAn(t)>Bn(t) pour toutt >itla0d,´ceefiquigarantinitno deδn(t). Z +∞ 1. CalculerAn(t) dt. 1 2.Lesin´egalit´esdesquestions(a),(b)et(c)suivantessontdemande´espourtoutt >0. 2 B(t) n (a) Justifier que|δn(t)−An(t)|6∙ An(t) 1 1 (b) On poseϕn(t) = 2n∙Montrer queϕn(t)6∙ +2 2 t 2t+ 2t 1 +−1 n
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!2 2n+2 2n 2 2 t t2t t 2 Nn(t) = 1 +−1−(n+ 1) 1 + + 2 n n n n !2 2 2n+2 2 2t t t Dn(t+ 1 ) = +−1 2 n n n
3. On pose
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2Nn(t) de sorte queδn(t) = pour toutt >0. Dn(t) 0 00 ` (a)Al’aided’unde´veloppementlimit´e,d´eterminerlesvaleursdeNn(0), N(0), N(0). n n Ende´duirel’int´egrabilit´edeδn(t) en 0. 2n t 2 (b)V´erifierque1+6toute pour t∈[0,1]. n 3 On noteBl’ensemble des suites de fonctions (gn)n>1de classeCde [0,1] dansR, pour 0 00 000 les (t)|,|g(t)|(t)|soie quelles il existeMtel que|gn(t)|,|gn net|gns`asunitnoteiru´fre Mpour touttdans [0,1] et pour toutn>1. Montrer queBbr`epue,uenstlgeauqsi(eNn)n>1est dansB. Z 1 (c)D´eduiredesquestionspre´ce´dentesqueδn(t) dt∈O(n). 0 n 1 (n+ 1)t (a)V´erifierque−>0 pour toutt >1. 2 2n+2 t−1t−1 1 Onpourrautilisersansd´emonstrationl’in´egalit´ex+>2 valable pour toutx >0. x (b)Ond´emontrerault´erieurementque s Z +∞ 2 2n 4 1 (n+ 1)t En=−dt 2 2 2n+2 2 π1(t−1) (t−1)
0 (c)Ve´rifierque|δn(t)−An(t)|6−(n+ 1)tϕ(t). n Z +∞ (d)Ende´duirequelasuite|δn(t)−An(t)|dt∈O(n) lorsquentend vers +∞. 1 Z +∞ (e)D´eterminerune´quivalentsimpledeδn(t) dtlorsquentend vers +∞. 1
Agre´gationexternedemathe´matiques
Rapport du jury pour la session 2006
Analyseetprobabilit´es
estlenombremoyenderacinesre´ellesd’unpolynˆomededegre´ndont les coefficients sontal´eatoires. x ` A l’aide du changement de variabletetdenalrenimretviuqe´nu=,d´e1+Enlorsque n ntend vers +∞.
4.
Agre´gationexternedemath´ematiques
Analyseetprobabilit´es
Rapport du jury pour la session 2006
Partie II Balayagesorthogonauxsurlasphe`re
II.A-Unemesureinvariantesurlasphe`re
Dans cette partie,nenunertistexfie´(n>3).
n−1 Onconstruitunemesuresurlasphe`reSsumeladeeet´ri´eh,gseueLeberedλn. Pour toute n−1 partieA⊂Snoˆcgneerdneape´rnd,ofin´eleitAcomme l’ensemble C=t.x t∈[0,1], x∈A .
λn(C) n−1 LorsqueCest mesurable, on pose alorsλS(A) =∙On a en particulierλS(S) = 1. n λn(B) n−1 Onadmetquelesimagesre´ciproquesdebore´liensdeRsertciitpraedrsons`aSde fonctions n mesurables surRsont mesurables.
Lapr´esencededessinsclairsseravivementappr´ecie´e.
1.V´erifierquepourtouth >0 on a n 2h n−1n−1 λSS∩([−h, h]×[−1,1] )6∙ n λn(B)
n 2. Montrer queλSest invariante par rotation, i.e. pour toute rotation vectoriellerdeRet n−1 pour toute partie mesurableA⊂Son aλS(r(A)) =λS(A). 3.Ond´efinit,lorsque06α6β62π, lequartier de disqueΩα,βcomme l’ensemble Ωα,β= (rcosθ, rsinθ)r∈[0,1], θ∈[α, β], n−1 puis leequartierdesph`erQα,βcomme l’ensemble des points (x1, . . . , xn)∈Stels que (x1, x2)∈Ωα,β. 0 0 V´erifierquelorsqueθetθsont positifs et queθ+θ62π, alors
λS(Q0,θ+θ) =λS(Q0,θ) +λS(Q0,θ). 0 0
β−α End´eduirequeλS(Qα,β) =∙ 2π
n−1 Danstoutelasuiteduproble`me,lorsqueaetbsont deux points deS, on appelle longueur d’arc entreaetbiutqnaale´tL(abArc cos () = ha, bi).
n−1 4. Soitaetbdeux points deS. Montrer l’existence d’une constanteKednaetindpe´end aetbtelle que
2 2 ||b−a|| −K||b−a||6L(ab)6||b−a||+K||b−a||.
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Agre´gationexternedemath´ematiques
Analyseetprobabilite´s
Rapport du jury pour la session 2006
n−1 5.Onconside`reθ∈[0, π] et les deux points deSniefid´arspa b= (cosθ,sinθ,0, . . . ,tincdeon0)etmrD.e´neofnireθe´tiaqlntua n−1 λSx∈Shx, aihx, bi60.
= (1,0, . . . ,0) et
n−1 Defa¸conge´n´erale,aetb´enttattceiofeic-sleuqqnocuesdansSfiireuqe,v´er L(ab) n−1 λSx∈Shx, aihx, bi60 =∙ π
II.B - Balayages orthogonaux
n−1 Soitt7→γ(tge´r`ilucnofnoitsuienrueud)eernfin´esegmentI⊂Re`tvalaeursdansS. Pour n−1 tout pointa∈Smbnoleitfin´end,orohtgaseapsserednauxeogonapendant l’intervalle J⊂Ipar NJ(a) = Cardt∈J a⊥γ(t), lecardinale´tant`avaleurdansN∪ {+∞}rohtiaerlabegonoep´eayal.L’arγest alors Z+∞ X −1 a) dλ(a) =k AI=NI(S.λS(NI(k)). n−1 a∈S k=0
Onadmetlamesurabilite´desfonctionsNJ.
2 Onseplaceicidanslecaso`uγest de classeCsurIet qu’il existeM∈Rtel que pour presque n−10 0 00 00 touta∈S,NI(a)6M. Par ailleurs, on note||γ||∞= sup||γ(t)||et||γ||∞= sup||γ(t)||. t∈I t∈I
n−1 1. Soita∈Seth >0. (a) Montrer que siha, γ(t)iha, γ(t+h)i60, alorsN[t,t+h](a)>1. (b)V´erifierquesiN[t,t+h](a)>2, alors on peut trouvercdans [t, t+h] tel queasoit 0 orthogonal`aγ(c).Eqeeuduirnd´e
2.
200 |ha, γ(t)i|6h||γ||∞.
(c)Montrerlamˆemeine´galit´elorsquel’onaha, γ(t)iha, γ(t+h)i>0 etN[t,t+h](a)>1. (a)De´duiredesre´sultatspr´ec´edentsquelesquantite´ssuivantespeuventˆetremajore´es 2 paruntermeproportionnela`htpandease´dednepntet: L(γ(t)γ(t+h))||γ(t)−γ(t+h)|| −1 i)λSN(1)−ii)A[t,t+h]− [t,t+h] π π Z 1 0 (b)V´erifieralorsqueAI=||γ(t)||dt. πI
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