CCENS 2004 mathematiques paris, lyon, cachan classe prepa mp

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aiolos

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Français

ULC 412 SESSION 2004 Filière MP (groupes M/MP/MI) Épreuve commune aux ENS de Lyon et Cachan Filière MP (groupe 1) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe 1) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATH ÉM ATIQ u ES Durée : 4 heures L 'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats. Tournez la page S.V.P. Soit d un entier 2 1. On note hfd(c) l’espace des matrices d x d & coefficients dans d C. Le produit scalaire hermitien dans Cd est donné par (x , y) = ci=1 Ziyi. On munit I l A4 I C“ de la norme 11x11 = (~,z)l/~ et hfd(c) de la norme IlAli = supz m. L’adjointe d’une niatrice A est la matrice A* dont les coefficients sont (A*)i,j = Aj+. Une matrice U est unitaire si U*U = UU* = I, où I est la matrice identité. Une conjugaison unitaire est une application cp de Md(C) dans lui-même de la forme cp(A) = U*AU oii U est une matrice unitaire. Une telle matrice U est dite associée à cp. On appelle groupe d ’Arveson une famille de telles conjugaisons unitaires qui est un groupe continu à un paramètre ; c’est-à-dire 1) cpo(A) = A, pour tout A E Md(C), pour tous s,t E R, 2) cpt O cps = 3) ( t I-+ pt;(A)) est une application continue de R dans &!d(c), pour tout A E &!d(C). Si T est un sous-groupe ...

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