CCENS 1999 mathematiques paris et cachan classe prepa mp

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aiolos

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Français

J. 5885 ucc 440 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Épreuve commune aux ENS de Cachan et Ulm DURÉE : 4 heures L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d’admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats. Préambule Dans tout le problème, on munit lRN de sa structure euclidienne canonique, on note < ., . > le produit scalaire canonique et II./\ la norme associée. On note Z? = II U (-00, +co}. Pour x E RN et T > 0, on note B(x, r) la boule ouverte de centre x et de rayon T. Soit s2 un ouvert non vide de lRN. On note dR la frontière de R. On note C’(0) (resp. C1 (R)) l’ensemble des fonctions continues (resp. de classe C’) définies sur 52 à valeurs dans 4% On note C’(a) l’ensemble des restrictions à a des fontions C1 sur RN. Si f E C’(0), pour x E R, on note V~(X) le vecteur 1 . 1. Soit H : R x 32 x RN + R, continue. On considère l’équhion (*) : H(z, V, Vw) = 0 C*l Tournez la page S.V.P. Définition : soit u E CO(R). On dit que u est sous-solution de (*) si : pour tout x0 E R, pour tout r > 0 tel x0, r)), si la restriction de u - cp à B(xo, r) que B(xo, r) C 52, pour tout cp E,C’(B( atteint son maximum en 50, alors H(xo, 21(x0), V Voir