Capesext premiere composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

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aiolos

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Fonctions à variations bornéesIntroductionDans ce problème, on s’intéresse aux fonctions à variations bornées. Cette notion1 2a été introduite en 1881 par Jordan pour étendre un théorème de Dirichlet sur3la convergence des séries de Fourier . Il est composé de sept parties A, B, C, D, E,F et G.Dans la partie A on établit quelques propriétés élémentaires relatives aux fonc-tions à variations bornées. En introduction de la partie B, on déﬁnit une notion delongueur bornée et de longueur pour les fonctions à valeurs dansR. Son objectif estd’établir des propriétés générales sur cette notion : une inégalité triangulaire, unerelationde Chasles... Dansla partieCon établitl’équivalenceentre“êtrede longueurbornée sur tout segment” et “être à variations bornées”. La partie D se consacre au1cas des fonctions de classe C . On y démontre qu’elles sont toujours de longueurbornée et on donne une formule pour calculer leur longueur. La partie E s’intéresseau cas des fonctions périodiques. La partie F est consacrée à l’étude d’un exemple.Dans la partie G, on étend les déﬁnitions et les propriétés présentées précédemmentnaux cas des fonctions à valeurs dans R . Sauf mentions contraires explicitées dansle texte, les parties de ce sujet ne sont pas a priori indépendantes.Notations et déﬁnition n n Pour n2N et AR,F(A;R ) désigne l’ensemble des fonctions de A versR .nPour tout f2F(A;R ) et BA, fj désigne la restriction de f à B.B Dans tout le problème,I désignera un ...

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