CAPES INTERNE ÉNONCÉ
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Niveau: Supérieur, Bac+5
CAPES INTERNE 2007 ÉNONCÉ Problème 1 Le but de ce problèmùe est l'étude de quelques spécificités des fonctions numériques c et s de la variable réelle x définies sur R respectivement par c(x) = e x + e?x 2 et s(x) = ex ? e?x 2 . Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. Partie I Majorations, minorations, encadrements 1. Calculer c(0) et s(0) ; donner une valeur approchée de c(1) et de s(1) à 10?2 près. 2. Démontrer que la fonction c est paire et que la fonction s est impaire. 3. 3.1. Justifier que, pour tout réel x, on a [c(x)]2 ? [s(x)]2 = 1 c(x) > 1. 3.2. Vérifier que, pour tout réel x positif, on a : 0 6 s(x) < c(x). 4. 4.1. Justifier que les fonctions c et s sont dérivables sur R ; déterminer les fonctions dérivées correspondantes. 4.2. Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions c et s. 4.3. Tracer les courbes représentatives des fonctions c et s dans un même repère orthonormal du plan d'unité graphique 1 cm.
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CAPES INTERNE 2007 ÉNONCÉ Problème 1 Le but de ce problèmùe est l'étude de quelques spécificités des fonctions numériques c et s de la variable réelle x définies sur R respectivement par c(x) = e x + e?x 2 et s(x) = ex ? e?x 2 . Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. Partie I Majorations, minorations, encadrements 1. Calculer c(0) et s(0) ; donner une valeur approchée de c(1) et de s(1) à 10?2 près. 2. Démontrer que la fonction c est paire et que la fonction s est impaire. 3. 3.1. Justifier que, pour tout réel x, on a [c(x)]2 ? [s(x)]2 = 1 c(x) > 1. 3.2. Vérifier que, pour tout réel x positif, on a : 0 6 s(x) < c(x). 4. 4.1. Justifier que les fonctions c et s sont dérivables sur R ; déterminer les fonctions dérivées correspondantes. 4.2. Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions c et s. 4.3. Tracer les courbes représentatives des fonctions c et s dans un même repère orthonormal du plan d'unité graphique 1 cm.
- coordonnées dans le repère
- repère orthonormal du plan
- bissectrices intérieures du triangle abc
- repère
- pieds des hauteurs respectives
- plan e2
CAPES INTERNE 2007 ENONCE
ProblÈme 1
Le but de ce problÈmÙe est l’Étude de quelques spÉcificitÉs des fonctions numÉriquescetsde la variable rÉellexdÉfinies surRrespectivement par x−x x−x e+e e−e c(xet) = s(x) =. 2 2 Les trois parties de ce problÈme peuvent tre traitÉes indÉpendamment l’une de l’autre.
Partie I Majorations, minorations, encadrements −2 1. Calculerc(0)ets(0); donner une valeur approchÉe dec(1)et des(1)À10 prÈs. 2. DÉmontrer que la fonctioncest paire et que la fonctionsest impaire. 3. 3.1. Justifier que, pour tout rÉelx, on a 2 2 ¨[c(x)]−[s(x1)] = ¨c(x)>1. 3.2. VÉrifier que, pour tout rÉelxpositif, on a :
06s(x)< c(x).
4. 4.1. Justifier que les fonctionscetssont dÉrivables surR; dÉterminer les fonctions dÉrivÉes correspondantes. 4.2. Dresser le tableau de variation de chacune des fonctionscets. 4.3. Tracer les courbes reprÉsentatives des fonctionscetsdans un mme repÈre orthonormal du plan d’unitÉ graphique 1 cm. 5. 5.1. DÉmontre que, pour tout rÉelxpositif, on a :
x6s(x).
5.2. En dÉduire les inÉgalitÉs suivantes pour tout rÉelxpositif : 2 x ¨1 +6c(x); 2
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3 x ¨x+6s(x). 6 6. 6.1. DÉmontrer que, pour tout rÉelxcompris entre 0 et 1, on a : ¨s(x)62x; 2 ¨c(x)61 +x. 6.2. En dÉduire les inÉgalitÉs suivantes pour tout rÉelxcompris entre 0 et 1 : 3 x ¨s(x)6x+; 3 2 4 x x ¨c(x)61 + +. 2 12 6.3. Justifier que, pour tout rÉelxcompris entre 0 et 1, on a : µ ¶ 2 x1 06c(x)−1 +6. 2 12
Qu’en est-il pours(x)?
Partie II Vers une approximation de la fonctioncpar des fonctions polynÔmes 1. DÉmontrer, À l’aide d’une intÉgration par parties, que pour tout rÉelx, on a : Z x c(x) = 1 + (x−t)c(t)dt. 0 En dÉduire que, pour tout rÉelx, on a : Z 2x3 x(x−t) c(x) = 1 + +c(t)dt. 2 3! 0 2. DÉmontrer que, pour tout rÉelx, la relation suivante est satisfaite pour tout entiernstrictement positif : nZ X 2k x2n+1 x(x−1) c(x+) = 1 + c(t)dt. (2k)! (2n+ 1)! 0 k=1
Un nombre rÉel strictement positif a Étant donnÉ, on cherche, dans la suite n X 2k a de cette partie, À montrer quec(a) = 1 + lim. n→+∞ (2k)! k=1 3. DÉmontrer que pour tout entiernstrictement positif, on a : Z 2n+1 2n+2 (a−t)a c(t)dt6c(a). (2n+ 1)! (2n+ 2)! 0
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2n a 4. On notevn=oÙnest un entier strictement positif. (2n)! 4.1. Prouver qu’il existe un entierNtel que pour tout entiernsupÉrieur ou Égal ÀN, on a : vn+11 6. vn2
4.2. DÉmontrer que pour tout entiernsupÉrieur ou Égal ÀN, on a :
1 vn6vN. n−N 2
4.3. DÉmontrer que la suite(vn)n∈Nconverge et prÉciser sa limite. 5. On considÈre la suite de rÉels(un)n∈NdÉfinie par : ¨u0= 1; n X 2k a ¨pour tout entiernstrictement positif,un= 1 +. (2k)! k=1 DÉmontrer que la suite(un)n∈Nconverge versc(a).
Partie III
Les fonctionscetset l’hyperbole
On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle[1; +∞[est mono-tone ou strictement monotone sur l’intervalle+]1; : ∞[, il en est de mme sur l’intervalle[1; +∞[.
~ ~ Le plan Étant muni d’un repÈre orthonormal(O;i, j)on considÈre la courbeH 2 2 d’Équationx−y= 1. + On noteHl’ensemble des points deHadmettant des coordonnÉesxety positives. ~ ~ + 1. Justifier que la courbeHreprÉsentative dans le repÈre(O;i, j)de la √ 2 fonctionfqui À tout rÉelxde l’intervalle[1; +∞[associex−1. + 2. DÉmontrer que la droite d’Équationy=xest asymptote À la courbeH. + 3. DÉmontrer que la courbeHpeut tre obtenue À partir de la courbeHpar des symÉtries que l’on prÉcisera. ~ ~ 4. Tracer la courbeHdans le repÈre(O;i, j).
Un nombre rÉel positif a Étant donnÉ, on cherche, dans la suite de cette partie, À + montrer que les coordonnÉes du pointMdeHtel que l’aire grisÉe reprÉsentÉe ci-dessous soit Égale À 2a sont(c(a), s(a)).
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5. On note : √ 2 ¨Fla primitive de la fonctionf:x7→x−1dÉfinie sur l’intervalle [1 ;+∞;[ et nulle en 1 ¨Ala fonction qui À tout rÉelxsupÉrieur ou Égal À 1 associe l’aire de la partie hachurÉe reprÉsentÉe ci-dessus et correspondant au pointM + d’abscissexde la courbeH; ¨gla fonction numÉrique de variable rÉellexdÉfinie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par : √ 2 x x−1 g(x) =−F(x). 2 5.1. Justifier la relation suivante, pour tout rÉelxsupÉrieur ou Égal À 1 :
A(x) = 4g(x).
5.2. DÉmontrer que la fonctionAest strictement croissante sur l’intervalle [1 ;+∞[. 5.3. Justifier l’inÉgalitÉ suivante, pour tout rÉel strictement supÉrieur À 1 :
1 0 g(x)>. 2x 5.4. DÉduire de ce qui prÉcÈde : ¨limg(x) = +∞; x→+∞ ¨Quel que soit le rÉelapositif, il existe un unique rÉelxasupÉrieur ou Égal À 1 tel que : A(xa) = 2a. ~ ~ ~ ~ i−j i+j ~ ~ 6. SoientI=√etJ=√. 2 2 ³ ´ ~ ~ Pour tout pointMdu plan de coordonnÉes(x, y)dans le repÈreO;i, j, on ³ ´ ~ ~ note(X, Y)ses coordonnÉes dans le repÈreO;I, J. ³ ´ ~ ~ 6.1. Prouver queO;I, Jest un repÈre orthonormal du plan. 6.2. Exprimerxetyen fonction deXetY.
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³ ´ ~ ~ 6.3. En dÉduire que, dans le repÈreO;I, J,Hest la coiurbe reprÉsentative 1 ∗ de la fonctionh:X7→, dÉfinie surR. 2X ³ ´ ~ ~ 7. On noteAle point de coordonnÉes (1 , 0) dans le repÈreO;i, j. ³ ´ ~ ~ 7.1. Quelles sont les coordonnÉes du pointAdans le repÈreO;I, J? ~ 7.2. Tracer la courbeH, le pointA, la droite(O, i)et reprÉsenter la partie ³ ´ ~ ~ grisÉe prÉcÉdente dans le repÈreO;I, J 7.3. Calculer l’aireA(c(a))en fonction dea. 7.4. Conclure.
ProblÈme 2
Notations
Dans tout le problÈme, on considÈreA,B,Ctrois points alignÉs du planE2. On adopte les notations suivantes : ¨Le cercle circonscrit au triangleABCa pour centreOet pour rayonR; ¨Le cercle inscrit dans le triangleABCa pour centreωet pour rayonr; ¨α,βetγdÉsignent les longueurs respectives des c ÔtÉs[BC],[AC]et [AB]; ¨MA,MBetMCdÉsignent les milieux respectifs des segments[BC],[AC] et[AB]; ¨HA,HBetHCdÉsignent les pieds des hauteurs respectives issues deA, BetC; ¨ΔA,ΔBetΔCdÉsignent les bissectrices intÉrieures du triangleABC 0 0 0 respectivement issues des sommetsA,B,CetA,B,CdÉsignent les points d’intersection deΔA,ΔB,ΔCrespectivement avec les droites (BC),(AC),(AB). Pour rÉpondre aux diffÉrentes questions, il est vivement conseillÉ de faire plusieurs schÉmas qui pourront servir de supports aux divers raisonnements.
Partie I CaractÉrisation de l’intÉrieur d’un triangle
SoitDune droite du plan etAun point n’appartenant pas À la droiteD. On −→ noteHle pied de la perpendiculaire À la droiteD, issue deA,uun vecteur −−→ HA directeur unitaire de la droiteDet on posev~=. HA
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On appelle demi-plan ouvert dÉlimitÉ par la droiteDet contenant le pointA [resp. ne contenant pas le pointA]l’ensemble des pointsMde coordonnÉes −→−→ (x, y)dans le repÈre(H;vu , )tels quey >0 [resp. y <0].
L’intÉrieur d’un triangleABCnon aplati est, par trois demi-plans ouverts dÉlimitÉs respectivement et(AC)et contenant respectivement les pointsC,
dÉfinition, l’intersection des par les droites(AB),(BC) AetB.
1. SoientBetCdeux points distincts appartenant À la droiteD. DÉmontrer qu’un pointMdu plan appartient au demi-plan ouvert dÉlimitÉ par la droiteDet contenant le pointAsi et seulement si l’ordonnÉe du point −−→−−→ Mdans le repÈre(B;BC , BA)est strictement positive. 2. DÉmontrer qu’un pointMdu plan appartient À l’intÉrieur du triangle ABCsi et seulement siMest barycentre des pointsA,BetCaffectÉs de coefficients non nuls, tous de mme signe.
Partie II Position du centre du cercle inscrit d’un triangleABCnon aplati
1. −−→−−→ 1.1. DÉmontrer que, dans le repÈre(A;AB , AC), une Équation de la bis-sectriceΔAest : γ y=x. β −−→−−→ 1.2. DÉterminer, dans le repÈre(A;AB , AC), une Équation de la droite (BC). −−→−−→ 0 1.3. DÉterminer dans le repÈre(A;AB , AC), les coordonnÉes du pointA, point d’intersection des droitesΔAet(BC). 2. 0 2.1. DÉterminer deux rÉelsλetµtels que le pointAsoit barycentre des pointsBetCrespectivement affectÉs des coefficientsλetµ. 2.2. DÉmontrer que le pointω, centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, est le barycentre des pointsA,BetCrespectivement affectÉs des coefficientsα,βetγlongueurs respectives des segments[BC],[AC]et [AB]. 2.3. Quel rÉsultat concernant la position du pointωrelativement au triangle ABCretrouve-t-on ?
Partie III Position du centre du cercle circonscrit d’un triangleABC non aplati
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MAÉtant le milien du segment[BC], on munit le planE2du repÈre orthonor-−→−→ mal(MA;i , j)tel que le pointB(respectivementC) ait pour coordonnÉes ³ ´ ³ ´ α α −,0(respectivement,0) et que le pointAait une ordonnÉe stricte-2 2 ment positive. On note(xA, yA)les coordonnÉes du pointAdans ce repÈre. 1. Justifier que les coordonnÉes du pointO, centre du cercle circonscrit au triangleABC, sont : ³ ´ ³ ´ α α xA−xA+ yA 2 2 xO= 0 etyO= +. 2 2yA 2. DÉmontrer que : −−→−−→ 2y0yA=AB .AC . 3. En dÉduire que, pour que les pointsOetAsoient dans le mme demi-plan ouvert dÉterminÉ par la droite(BC), il faut et il suffit que l’angle gÉomÉtrique \ BACsoit aigu. 4. Donner une condition nÉcessaire et suffisante sur les angles gÉomÉtriques du triangleABCpour que le pointOsoit À l’intÉrieur du triangleABC.
Partie IV Cas particulier d’un rÉsultat Établi par Lazare Carnot(gÉnÉral et mathÉmaticien franÇais 1753-1823)
On admettra que :
SiMest un point appartenant À l’intÉrieur d’un triangleABCnon aplati, l’aire du triangleABCest Égale À la somme des aires des triangles AM B,AM CetBM C. 1. Justifier que l’aire du triangleABCnotÉsA(ABC)est telle que : µ ¶ α+β+γ A(ABC) =r 2
oÙrdÉsigne le rayon du cercle inscrit dans le triangleABC. 2. On se place dans le cas oÙ le pointO, centre du cercle circonscrit au triangle ABC, appartient À l’intÉrieur du triangleABC.
2.1. DÉmontrer que :
α OMA+β OMB+γ OMC= 2A(ABC);
2.2. Justifier que le pointHA(respectivement segment[BC](respectivement[AC],[AB]).
(1)
HB,HC) est un point du
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2.3. DÉmontrer que les trianglesABHB,ACHCetBOMAsont semblables. 2.4. En dÉduire l’ÉgalitÉ suivante :
(β+γ)OMA=R(AHB+AHC)
oÙRest le rayon du cercle circonscrit au triangleABC. Ecrire les deux autres ÉgalitÉs qui peuvent tre obtenues de maniÈre analogue pourOMB etOMC. 2.5. DÉmontrer alors l’ÉgalitÉ suivante :
OMA+OMB+OMC=R+r.
(2)
3. Dans cette question, le pointOappartient À l’un des segments[BC],[AB] ou[AC]. 3.1. PrÉciser la nature du triangleABCdans ce cas. 3.2. On suppose que le pointOest un point du segment[BC]. 3.2.1. DÉmontrer qu’on a alors :
α βγ R+r= + 2α+β+γ
et
β+γ R+r=. 2
3.2.2. En dÉduire que la relation (2) est encore vÉrifiÉe dans ce cas.
