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Niveau: Supérieur, Bac+5
[ CAPES interne 2005 \ Problème 1 Dans tout le problème, on considère la fonction numérique f de variable réelle dé- finie par : pour tout x réel, f (x)=?x2+2x+1 et la suite (un )n?N définie par : u0 réel fixé et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ) . I. Étude de la fonction f 1. Étudier le sens de variation de la fonction f . 2. Déterminer les deux racines de l'équation f (x)? x = 0. Ces deux racines sont réelles et de signe contraire. On note ?1 la racine néga- tive et ?2 la racine positive. 3. Montrer que, pour tout x réel : si x < ?1 alors f (x)< ?1 ; si 1< x < 2 alors 1< f (x)< 2. 4. Dresser le tableau de variation de la fonction f en faisant notmnment figurer dans le tableau les valeurs de x égales à ?1, ?2, 1 et 2 ainsi que les valeurs correspondantes de f (x). 5. Tracer la courbe représentative de la fonction f , notée C f dans un repère or- thonormal du plan d'unité graphique 2 cm. Préciser les coordonnées des points d'intersection de la courbe C f avec l'axe des abscisses.

parabole p0

triangle abq

point d'intersection de la tangente t0 en m0

droited

arc de parabole ?ab

milieu de segment

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[CAPES interne 2005\

Problème 1 Dans tout le problème, on considère la fonction numériquefde variable réelle dé ﬁnie par : 2 pour toutxréel,f(x)= −x+2x+1 déﬁn et la suite (un)n∈Nie par : u0réel ﬁxé et pour tout entier natureln,un+1=f(un) .

I. Étude de la fonctionf 1.Étudier le sens de variation de la fonctionf. 2.Déterminer les deux racines de l’équationf(x)−x=0. Ces deux racines sont réelles et de signe contraire. On noteℓ1la racine néga tive etℓ2la racine positive. 3.Montrer que, pour toutxréel : six<ℓ1alorsf(x)<ℓ1; si 1<x<2 alors 1<f(x)<2. 4.Dresser le tableau de variation de la fonctionfen faisant notmnment ﬁgurer dans le tableau les valeurs dexégales àℓ1,ℓ2, 1 et 2 ainsi que les valeurs correspondantes def(x). 5.Tracer la courbe représentative de la fonctionf, notéeCfdans un repère or thonormal du plan d’unité graphique 2 cm. Préciser les coordonnées des points d’intersection de la courbeCfavec l’axe des abscisses. 6.Sur le même graphique, tracer la droiteDd’équationy=x. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbeCfet de la droiteDainsi que la position deCfpar rapport àD.

II. Étude de la suite (un) n∈N 1.Sur le graphique précédent représenter à l’aide de la courbeCfet de la droite Dles quatre premiers termes de la suite (u) n n∈N a.lorsqueu0= −0, 7 ; b.lorsqueu0=1, 25. 2.Montrer que si la suite (unune limite ﬁnie) aλ, alorsλne peut prendre n∈N que l’une des deux valeursℓ1ouℓ2. 3. Danscette question, on suppose :u0<ℓ1 a.Démontrer que, pour tout entier natureln,un<ℓ1. est b.Démontrer que la suite (un)n∈Ndécroissante. c.La suite (unconvergente ? Justiﬁer la réponse.) estelle n∈N 4. Danscette question, on suppose :u0∈]1 ;ℓ2[ a.Démontrer queℓ2<u1<2. Dans les questions qui suivent, on note (v) et(wsuites dé) les n n∈Nn n∈N ﬁnies pour tout entier natureln, parvn=u2netwn=u2n+1.

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A. P. M. E. P.

b.Prouver que, pour tout entier natureln,vn+1=f◦f(vn) et wn+1=f◦f(wn). c.Démontrer que, pour tout entier natureln, 1<vn<ℓ2etℓ2<wn<2. d.Pour tout réelx, calculerf◦f(x). e.Détermineraetbréels tels que, pour tout réelx, ¡ ¢¡ ¢ 2 2 f◦f(x)−x= −x+x+1x+a x+b. f.Détermincr les valeurs du réelxtelles quef◦f(x)−x=0. En déduire le signe def◦f(x)−xpourxappartenant à l’intervalle ]1 ; 2[. g.En étudiant le signe devn+1−vnpournentier naturel, démontrer que la suite (vndécroissante.) est n∈N Montrer par la même méthode que la suiteest croissante. (wn)n∈N h.Prouver que les suites (v) et(wsersont con n n∈Nn)n∈Nvergentes et préci la limite de chacune d’entre elles. i.ente ? Justiﬁer la réponse.La sui te (un)n∈estelle converg N

Problème II ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,. Étant donné un réel strictement positifp(p>0), on désigne parDla droite d’équa ³ ´ p p tiony= −et par F le point de coordonnées0 ;. 2 2 On considère l’ensemble des pointsMdu plan équidistants du point F et de la droite Dc’està dire tels que MF = MH où H est le projeté orthogonal de M sur la droiteD. Par déﬁnition, cet ensemble est la parabolePde directriceDet de foyer F.

Pour répondre aux différentes questions, il est vivement conseillé de faire plu sieurs schémas qui pourront servir de support aux divers raisonnements. Question préliminaire On désigne par K le projeté orthogonal de F sur la droiteD. Vériﬁer que O appartient à la parabolePet que O est le milieu du segment [FK]. O est appelé sommet de la parabole. Partie 1 Étude de quelques propriétés de la parabole et de ses tangentes

1.Soit M un point du plan de coordonnées (x;y). a.Déterminer les coordonnées de H projeté orthogonal de M sur la droite D. b.Déterminer une équation de l’ensemble des points M du plan tels que :

2 2 MF=MH . c.En déduire que la parabolePde foyer F et de directriceDa pour équa ³ ´ 1→−→− 2 tiony=xdans le repèreO,ı,. 2p 2.En choisissant 2 cm pour unité graphique dans le plan, tracer la paraboleP0 1 correspondant au casp=. On placera sur le graphique le foyer F0et la di 2 rectriceD0de la parabole. On revient maintenant au cas général où p est un réel strictement positif quel conque.

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A. P. M. E. P.

3.Soient M0un point de la parabolePd’abscissex0et H0le projeté orthogonal de M0sur la droiteD. a.Déterminer une équation de la tangenteT0en M0à la paraboleP. Pré ciser la tangente au sommet de la parabole; cette droite sera désignée pard. b.Montrer que la droiteT0est la médiatrice du segment [FH0]. c.Soit T0le point d’intersection de la tangenteT0en M0à la paraboleP avec la droiteD. à Que représente la droiteT0pour l’angle H0T0F ? d.Montrer que les droites (FT0) et (FM0) sont perpendiculaires. e.Soitf0le projeté orthogonal de F sur la tangenteT0en M0àP. Montrer quef0est un point de la droited. 4.Soient A et B deux points de la parabolePd’abscisses respectivesaetbavec a<b. Les tangentes en A et B à la parabolePse coupent au point Q. a.Déterminer les coordonnées des points A, B et Q. b.On désigne par I le milieu du segment [AB] et par E le point d’in tersection de la droite (IQ) avec la paraboleP. Montrer que les droites (IQ) etDsont perpendiculaires. Déterminer les coordonnées du point E ; vériﬁer que E est milieu du seg ment [IQ]. c.Montrer que la droite qui passe par les pointsαetβmilieux respectifs des segments [AQ] et [BQ] est tangente en E à la paraboleP.

Partie II On s’intéresse dans cette partie II à la construction « à la règle et au compas » des tangentes à la parabolePissues d’un point donné du plan. 1.On appelle : « intérieur de la paraboleP» l’ensemble des points M du plan de coordonnées 1 2 (x;y) tels quey>x, 2p « extérieur de la paraboleP» l’ensemble des points M du plan de coordon 1 2 nées (x;y) tels quey<x. 2p Donner une condition nécessaire et sufﬁsante portant sur les distances du point M au point F et du point M à la droiteDpour que ce point M appar tienne à l’intérieur (respectivement à l’extérieur) de la parabolePJ’ 2.Soit Mo un point de la paraboleP, H0le projeté orthogonal de M0sur la droite DetT0la tangente à la parabolePau point M0. a.Montrer que pour tout point N de la droiteT0, NH0=NF. b.Montrer que tout point N de la droiteT0, distinct de M0, est extérieur à la paraboleP. c.N désigne un point du plan. Déterminer le nombre de tangentes à la parabolePpassant par N selon la position de N dans le plan. d.Dans le cas où il existe deux tangentes à la parabolePpassant par le point N, déduire des questions précédentes une construction « à la règle et au compas » de ces tangentes.

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A. P. M. E. P.

Partie III On s’intéresse dans cette partie à la construction « à la règle et au com pas » du ou des points d’intersection de la parabolePde foyer F et de directriceD avec une droite du plan, s’ils(s) existe(nt). Le point F et la droiteDétant donnés, on désigne parΔune droite du plan. 1.Étude de deux cas particuliers a.Construire le (ou les) point(s) d’intersection de la droiteΔet de la para bolePlorsque la droiteΔest perpendiculaire à la droiteD. b.Construire, s’ils existent, le (ou les) points) d’intersection de la droiteΔ et de la parabolePlorsque la droiteΔest parallèle à la droiteD. 2.Prouver que la parabolePest l’ensemble des centres des cercles passant par le point F et tangents à la droiteD. 3.Etude du cas général On suppose que la droiteΔn’est ni parallèle, ni perpendiculaire àD. On note T le point d’intersection de la droiteDet de la droiteΔ. ′ a.SoientCetCdeux cercles centrés sur la droiteΔet tangents à la droite ′ D. Montrer que le cercleCest l’image du cercleCpar une homothétie de centre T. On suppose dans les deux questions suivantes qu’il existe au moins un point M de la parabolePappartenant à la droiteΔ. b.Montrer que tout cercle centré sur la droiteΔet tangent à la droiteD coupe la droite (TF) en au moins un point. c.ointsProposer une construction « à la règle et au compas » du ou des p d’intersection de la droiteΔavec la parabolePlorsque ces points existent.

Partie IV On se propose dans cette partie de déterminer, par deux méthodes dif férentes, l’aire d’un « segment » de parabole c’est à dire l’aire de la partie de plan délimitée par un arc de parabole et la corde qui le soustend Dans cette partie, on considère toujours la parabolePde directriceDet de foyer F ³ ´ −→−→1 2 admettant dans le repère orthonormalO,ı,l’équationy=x. 2p A et B sont deux points de la paraboleP; les tangentes en A et B àPse coupent au point Q. 1. MéthodeanalytiqueOn noteaetbles abscisses respectives des points A et B aveca<b. a.Déterminer l’aireAdu triangle ABQ. b.Déterminer une équation de la droite (AB). ′ c.Déterminer l’aireAde la partie de plan délimitée par l’arc de parabole  AB et la corde [AB] en fonction deA. ′ d.Quelle relation existetil entreAetA? 2. Méthodegéométrique Les résultats des questions1.à4.sont utilisés par Archimède dans son ou vrage sur la « quadrature du segment de parabole ». I désigne le milieu du segment [AB], E l’intersection de la droite (IQ) avec la paraboleP;αetβsont les milieux respectifs des segments [AQ] et [BQ]. On admet que tout point situé à l’intérieur ou sur les côtés du triangle AEB ap  partient à la partie de plan délimitée par l’arc de parabole AB et la corde [AB] qui le soustend et que tout point de cette partie du plan est situé à l’intérieur ou sur les côtés du triangle ABQ. a.Montrer que E est le milieu du segment [αβ]

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A. P. M. E. P.

b.Exprimer l’aire du triangle ABE en fonction deA, aire du triangle ABQ et justiﬁer l’inégalité suivante : 1 ′ A6A6A. 2 ′ c.On désigne par K et Kles milieux respectifs des segments [AE] et [BE] ′ et, par L et L , les points d’intersection de la parabolePrespectivement ′ avec les droites (αK) et (βK ). ′ i. Exprimerl’aire des triangles AEL et EBLen fonction deA, aire du triangle ABQ. ii. Exprimerl’aire du triangleαβQ à l’aide deA. iii. Démontrerla double inégalité suivante : µ ¶µ ¶ 1 11 ′ A1+6A6A1−. 2 44 d.En itérantnfois (n) le procédé décritentier naturel strictement positif ′ précédemment, déterminer un encadrement de l’aireAde la partie de  plan délimitée par l’arc de parabole AB et la corde [AB] en fonction deA. e.Qu’obtienton par passage à la limite ? f.À quelle époque et où vivait Archimède ? Citer au moins un résultat scien tiﬁque et au moins une invention technologique attribués à Archimède.

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