Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie novembre groupement A
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2007
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Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie novembre 2007 - groupement A Exercice 1 9 points On considère la fonction numérique paire, 2pi-périodique, définie sur l'intervalle [0 ; pi] par : ? ? ? f (t) = cos(t) si 06 t < pi 2 f (1) = 0 si pi 2 6 t 6pi On a tracé en pointillé sur le document-réponse la courbe representative de la fonc- tion cosinus sur l'intervalle [?pi ; 3pi]. 1. Représenter. sur le document réponse à rendre avec la copie la fonction f sur l'intervalle [?pi ; 3pi]. 2. Onadmet que la fonction f satisfait aux conditions d'application du théorème de Dirichlet et, par conséquent qu'elle est décomposable en série de Fourier. On note : S(t)= a0+ ∑ n>1 [an cos(nt)+bn sin(nt)] la série de Fourier associée à la fonction f . a. Donner la valeur de bn pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1. b. Calculer a0. c. Calculer a1. d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : an = 1 pi ? ? ? sin [ (n?1) pi 2 ] n?1 + sin [ (n+1) pi 2 ] n+1 ? ?
- courbe representative de la fonc
- conditions d'application du théorème de dirichlet
- tion cosinus sur l'intervalle
Brevetdetechniciensupérieur
Nouvelle–Calédonienovembre2007-groupementA
Exercice1 9points
On considère la fonction numérique paire, 2π-périodique, définie sur l’intervalle
[0;π]par:
π
f(t) = cos(t) si 06t<
2π f(1) = 0 si 6t6π
2
Onatracéenpointillésurledocument-réponselacourberepresentativedelafonc-
tioncosinussurl’intervalle [−π; 3π].
1. Représenter. surledocumentréponseàrendreaveclacopielafonction f sur
l’intervalle [−π; 3π].
2. Onadmetquelafonction f satisfaitauxconditionsd’applicationduthéorème
deDirichletet,parconséquentqu’elleestdécomposableensériedeFourier.
Onnote:
X
S(t)=a + [a cos(nt)+b sin(nt)]0 n n
n>1
lasériedeFourierassociéeàlafonction f.
a. Donnerlavaleurdeb pourtoutentiernatureln supérieurouégalà1.n
b. Calculer a .0
c. Calculer a .1
d. Montrerque,pourtoutentiernatureln supérieurouégalà2,ona:
h i h iπ π
sin (n−1) sin (n+1)1 2 2
a = + n
π n−1 n+1
3. OnnoteS (t)lasériedeFourierassociéeàlafonction f.tronquéeaurang1.1
1 1
Onadonc:S (t)= + cost.1
π 2
Àpartirdela courbereprésentative delafonction cosinus tracersurle docu-
mentréponselacourbereprésentantlafonctionS surl’intervalle [−π; 3π].1
Onlaisserafigurerlestracésintermédiaires.
Exercice2 11points
Dans cet exercice, on considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres
réelstelleque:
6 ′′ ′ f (t)+ f (t)+f(t) = 1 pourtoutnombreréel t
5
f(0) = 0 ′f (0) = 0
1. Danscettequestionondétermineuneexpressionde f(t).
a. Résoudrel’équation différentielle(E)
6′′ ′y (t)+ y (t)+y(t)=0 (E)
5
danslaquelle y désigneunefonctiondelavariableréelle t.Brevetdetechniciensupérieur
b. Endéduirequelafonction f estdéfiniepourtoutnombreréelt par:
? ? ? ? ??
3 4 3 4− t
5f(t)=1−e cos t + sin t .
5 4 5
2. Dans cette question on détermine la limite de la fonction f au voisinage de
+∞.
a. Justifierque,pourtoutnombreréel t,ona:
? ?
3 3 34− t − t − t
5 5 5−e 6e cos t 6e
5
b. Endéduireque
? ?
3 4− t
5lim e cos t =0
t→+∞ 5
c. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞.
′3. a. Calculer f (t)pourtoutnombreréel t.
5kπ′b. Montrer que : f (t)= 0 équivaut à t = , où k désigne un nombre
4
entierrelatif.
5kπ
c. Onnotepourtoutnombreentierrelatifk, t = etonposek
4? ?
? ?D = f t −1 .( )k k
3− kπ4Montrerque:D =e .k
GroupeA 2 novembre2007Brevetdetechniciensupérieur
Document-réponseàrendreaveclacopie
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
GroupeA 3 novembre2007
