Analyse Matricielle 2004 Bioinformatique et Modélisation INSA Lyon

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Examen du Supérieur INSA Lyon. Sujet de Analyse Matricielle 2004. Retrouvez le corrigé Analyse Matricielle 2004 sur Bankexam.fr.

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Analyse Matricielle – 3 BIM DevoirSurveill´e–28avril2004 Touslesdocumentssontautoris´es. Lebareˆmeestdonne´a`titreindicatif,etserasusceptibled’ˆetrel´eg`erementmodiﬁ´e. Lesexercicessontinde´pendantsetpeuventdonceˆtretrait´esdansunordrequelconque. Ilestconseill´edesoignerparticulie`rementlar´edaction.

Exercice 1 :(6 points) Une matriceG∈ Mn,n(R) est ditestochastiques,tusvi´tsessnonaetdeuxilesri´eprop ve´riﬁe´es: •tous les coeﬃcients sont positifs ou nuls :∀i= 1. . . n,∀j= 1G. . . n,i,j≥0, n X •la somme sur chaque ligne vaut un :∀i= 1. . . n,Gi,j= 1. j=1 1. MontrerquekGk∞= 1 et quekGk1≤n. 2. Montrerque 1 est valeur propre deGeduireque´dnete,ρ(G) = 1.

Exercice 2 :(7 points) On mesure le poidsPen kilos et la tailleTxueda`ennos`mteneitecnepermˆem’uneresd aˆgesdiﬀe´rents.Envertudelarelation 2 P 2 =k⇐⇒T k=P T o`ukquitauxacserdniel,se´rrus,aeruvmoessdenedxurahcerusatelleraro,tpoge´endme caract´eriselapersonneenquestion,sil’onprendl’hypoth`esequ’ilestlemˆemeauxdeux ˆagesconside´re´s. Age Taille Poids 1T1= 120P1= 50 2T2= 160P2= 60 Exercice 3 :(7 points) SoitA∈ Mn,n(R) hermitienne.Le but est de montrer que dans ce cas : + Sp(A)⊂ {−1,0,1} ⇐⇒A=A. H •Implication :supposons queSp(A)⊂ {−1,0,1}. MontrerqueSp(A A)⊂ {0,1}. + +H SoitΣlapseudo-diagonalis´eedeAiueruqetron.Mde´dnE.Σ=ΣeuqreA=A et conclure. + + •:euqppusnosoeuqsR´eciproA=AnE´dΣ=.eruqdeiueon.MertreΣqu H Sp(A A)⊂ {0,1}et conclure. Comments’´ecritl’´equivalencequel’onvientdede´montrer,sil’onsupposedeplusqueA est inversible ?

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