A PROPOS DES SPHERES SOUS RIEMANNIENNES

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A PROPOS DES SPHERES SOUS-RIEMANNIENNES L. RIFFORD Abstract. Nous demontrons qu'en l'absence de courbe minimisante singulilere, la fonction distance sous-riemannienne, localement lipschitzi- enne hors de la diagonale, verifie un theoreme de Sard. On en deduit que les spheres sous-riemanniennes sont des hypersurfaces lipschitziennes pour presque tout rayon dans dSR(q0, Q). Abstract. We prove that, in absence of singular minimizing curve, the sub-riemannian distance function is locally Lipschitz outside the diagonal and satisfies Sard's theorem. Hence we deduce that the spheres are Lipschitz hypersurfaces for almost every radius in dSR(q0, Q). 1. Introduction Nous avons demontre recemment dans [6] que pour toute variete riemanni- enne lisse et tout point fixe sur celle-ci, presque toutes les spheres geodesiques centrees en ce point sont des hypersurfaces lipschitziennes de la variete ; l'objectif de cette note est de montrer que, sous de bonnes hypotheses, ce resultat reste vrai dans le cas sous-riemannien. 2. Preliminaires Pour tout complement sur les notions introduites dans ces preliminaires, on renvoie le lecteur aux deux textes [4] et [5]. 2.1. Structures sous-riemanniennes. Soit Q une variete connexe C∞ de dimension n. Une structure sous-riemannienne sur Q correspond a la donnee d'un couple (D, g), ou D est une distribution satisfaisant la condition du rang, et ou g est une metrique riemannienne sur D.

point critique de l'application entree-sortie

courbe ? ?

infimum des carres des normes l2 des courbes horizontales

theoreme de sard

application entree-sortie

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Théorème de Sard

` ` A PROPOS DES SPHERES SOUS-RIEMANNIENNES

L. RIFFORD

Abstract.onsqontrl’abu’endeceescnmeniuobrteanisimsuoNme´d singulile`re,lafonctiondistancesous-riemannienne,localementlipschitzi-ennehorsdeladiagonale,v´eriﬁeunth´eore`medeSard.Onende´duitque lessph`eressous-riemanniennessontdeshypersurfaceslipschitziennes pour presque tout rayon dansdSR(q0, Q).

Abstract.We prove that, in absence of singular minimizing curve, the sub-riemannian distance function is locally Lipschitz outside the diagonal and satisﬁes Sard’s theorem.Hence we deduce that the spheres are Lipschitz hypersurfaces for almost every radius indSR(q0, Q).

1.Introduction Nousavonsde´montr´ere´cemmentdans[6]quepourtoutevarie´te´riemanni-ennelisseettoutpointﬁx´esurcelle-ci,presquetouteslessph`eresg´eod´esiques centr´eesencepointsontdeshypersurfaceslipschitziennesdelavari´ete´; l’objectifdecettenoteestdemontrerque,sousdebonneshypoth`eses,ce re´sultatrestevraidanslecassous-riemannien. 2.serianimile´rP Pourtoutcomple´mentsurlesnotionsintroduitesdanscespre´liminaires, on renvoie le lecteur aux deux textes [4] et [5]. ∞ 2.1.Structures sous-riemanniennes.SoitQonecxenerivat´´euenCde dimensionnstructure sous-riemannienne sur. UneQdola`andpoesrrcoee´nn d’un couple (D, g)o,u`Dest une distribution satisfaisant la condition du rang,eto`ugmee´tsnueuirrtqinienemanrnesueD. On rappelle qu’une distribution surQalceessrotcdleibr-ﬁve´euenstusso ∞ CdeT Q, et que celle-ci satisfait la condition du rang si, pour toutq∈Q, Lie(D)[q] =TqQ. 2.2.Courbes horizontales.Une courbe horizontale (sur [0,1]) est une courbe absolument continueγ: [0,1]→Qtelle que pour presque tout t∈[0,1], γ˙ (t)∈ D[γ(t)]. Pourchaque pointq0sedanﬁx´Q, l’ensemble des 2 courbes horizontalesγvalantq0pourt= 0 et dont la normeLr,de´nﬁeiap s Z 1 g,q0 kγk:=g(γ˙,˙γ)dt 2 0 ∞ estﬁnie,estunevarie´te´hilbertiennedeclasseC; on la note Ωq0. Universit´edeParis-Sud,D´epartementdeMath´ematiques,Baˆtiment425,91405Orsay cedex, France (Courriel:ludovic.riﬀord@math.u-psud.fr). 1

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