1M1 Math Systemes dynamiques TD4

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1M1 Math 2008/09. Systemes dynamiques. TD4 Exercice 1 (Equation linearisee du pendule : II) On considere l'equation differentielle lineaire du second ordre x?? = ?a2 x avec a > 0 (1) 1 Donner la solution generale de cette EDO. En deduire la solution unique du Probleme de Cauchy pour (1), avec une donnee initiale arbitraire : x(t0) = x0, x ?(t0) = x1, (2) et montrer que les solutions non constantes sont periodiques de periode T = (2pi)/a. 2 Retrouver ces resultats en ecrivant (1) comme un systeme du premier ordre X ? = AX, (3) ou X := (x, y). et en appliquant Cauchy-Lipschitz. Peut-on affirmer a priori que la solution est definie globalement ? Resoudre explicitement (3) en diagonalisant la matrice A ( ?)et montrer qu'en fait toutes les solutions de sont periodiques et donc definies pour tout temps. 3 On pose H(X) = H(x, v) := 12 (v 2 + a2x2). Montrer que la fonction : t ? E(t) := H(x(t), v(t)) est invariante au cours du temps : on dit que le systeme (3) est conservatif, et que H est une integrale premiere de (3).

probleme de cauchy

trajectoires decrites par les solutions maximales

donnee initiale

solution maximale

modele de dynamique des populations de proies et de predateurs

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Problème de Cauchy

M1Math2008/09.Syste`mesdynamiques.TD4 Exercice1(Equationline´aris´eedupendule:II) Onconside`rel’´equationdiﬀ´erentielleline´airedusecondordre 002 x=−a xaveca >0 (1) 1ulosnoitnnoDalredelettceeng´ra´erilee´udE.dnEeODquednuniutioasolu Proble`medeCauchypour(1),avecunedonne´einitialearbitraire: 0 x(t0) =x0, x(t0) =x1,(2) etmontrerquelessolutionsnonconstantessontpe´riodiquesdep´eriodeT= (2π)/a. 2t(anco1)´eenivcrlusestatcrev´rsedreremieror`tmedepummuesnsyrtuoeR 0 X=A X,(3) ou`X:= (x, y). et en appliquant Cauchy-Lipschitz. Peut-on aﬃrmer a priori que lasolutionestde´ﬁnieglobalement?R´esoudreexplicitement(3)endiagonalisant la matriceAqieuirdopte´senosetertr’equainfouttlsetosseituldsno?(e)mtno doncd´eﬁniespourtouttemps.

1 22 2 3On poseH(X) =H(x, v) :=(v+a x). Montrer que la fonction : 2 t→E(t) :=H(x(t), v(t)) est invariante au cours du temps : on dit que le syst`eme(3)estconservatif,etqueHseutu-re`i(edeR.)3orteinneegt´leraempr ver ainsi, sans utiliser la forme explicite des solutions, que toute solution locale de(3)estborn´eeind´ependammentdutemps.Qu’end´eduisez-vous?Physique-ment,E(ttnli’q´ueetnoetrgiem´)eecsateqieulpla(eic´nlliedue)pousntte.tsyseme`

4Cette question est une reformulation de la question 2. On pose maintenant 0 x=a yetY(t) := (x(t), y(t)).Ecrirelesyst`emﬀideere´eitnnillai´edureemprrie ordre 0 Y=M Y,(4) ve´riﬁe´parY(.) := (x(.), y(.)) et montrer que la matriceM.eu´eymiqtraenst-sti Quels sont ses valeurs propres et ses vecteurs propres? Calculer la matrice exp (tM).

5On noteZ=Y0´eng´eomiqtruetellsnarmrofoitaQ.eu(e)4ladeinit´eeidonnla corresponda`l’applicationZ7→exp (tM)Z?

Exercice 2 Cet exercice de proies et repre´sentela

(Lotka-Volterra) apourobjetl’e´tuded’unmod`elededynamiquedespopulations depre´dateurs.L’unedesdeuxfonctionsinconnuesx(t) ouy(t) concentration en proies (sardines?) et l’autre la concentration en

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