1M1 Math Systemes dynamiques Controle du
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1M1 Math 2008/09. Systemes dynamiques. Controle du 02/03/2009 Une feuille manuscrite recto-verso autorisee. Calculettes interdites Exercice 1 On considere les deux fonctions suivantes de R dans R : f1(x) = sinx ; f2(x) = x? x 3. 1 Pour chacune de ces fonctions fi, i = 1, 2, etudier rapidement la fonction, tracer son graphe, donner les zeros et dire si la fonction est localement ou glo- balement Lipschitzienne fi, i = 1, 2. 2 On considere le Probleme de Cauchy associe a l'EDO x˙i = fi(x), (1) et a la condition initiale : x(0) = x0. Dans chaque cas i = 1, 2, que pouvez-vous dire a priori sur l'existence, locale ou globale, et l'unicite de la solution ? 3 Dans chaque cas, discuter graphiquement la stabilite des etats d'equilibre de (1). Dans le cas i = 1, si x0 ?]0, pi[, que pensez-vous du comportement de la solution quand t ? ±∞ ? Tracer l'allure qualitative de la solution t ? xi(t) dans ce cas. 4 Dans le cas i = 2, pour quels x0 pensez-vous que la solution est definie pour tout temps t ≥ 0 ? Donner d'abord sans demonstration l'allure qualitative du graphe de x2(.
Voir
- unicite de la solution du probleme de cauchy
- allure qualitative du graphe de x2
- borne explicite de la solution
- position d'equilibre
- cauchy-lipschitz
1
M1Math2008/09.Syste`mesdynamiques.Controˆledu 02/03/2009 Unefeuillemanuscriterecto-versoautoris´ee.Calculettesinterdites Exercice 1`dreleseOcnnoistionssuideuxfonctnavedseRdansR: 3 f1(x) = sinx;f2(x) =x−x . 1Pour chacune de ces fonctionsfi, i= 1,onti,reidute´,2ncfolantmedepira tracersongraphe,donnerlesz´erosetdiresilafonctionestlocalementouglo-balement Lipschitziennefi, i= 1,2. 2l’`aOEDossae´icaCedyhculePe`dree`emorlbonsiOnc x˙i=fi(x),(1) eta`laconditioninitiale:x(0) =x0. Dans chaque casi= 1,2, que pouvez-vous direapriorisurl’existence,localeouglobale,etl’unicit´edelasolution? 3hascanDd,saceuqgretucsi’´sduieqbrlieedraphiquementlastbalitie´ed´steta (1). Dans le casi= 1, six0∈]0, π[, que pensez-vous du comportement de la solution quandt→ ±∞? Tracer l’allure qualitative de la solutiont→xi(t) dans ce cas. 4Dans le casi= 2, pour quelsx0ruestdtioniepo´efinqsuov-zeulosaleunspe tout tempst≥deu0D?allurequalitativme´dtsnoitar’lnoneon’ardrdbonssa graphe dex2(.) dans ce cas. Rappelerensuitecommentonpeutjustifierceciend´ecomposantene´le´ments 1 simples la fraction rationnelle3uusilraefloarsmoulruetnidon´seod,ope x−x x+ 1x x−1 a bc x2(t) :=x(t) :=ln| || || |. x(0) + 1x(0)x(0)−1 Exercice2(Equationdiffe´rentiellelin´eairedusecondordre. Onconside`rel’e´quationdiff´erentielle x˙+ax˙ +bx=f(t),(2) o`uaetbemtncietitevopis`ulasetotionfonconstrtsfppustsenocee´soe,nu continueetborn´eepourtouttemps. 1alreulosnnoDSie.´ecisogoe`ensa’lDEhOmo´eraledetiong´enf≡en0,eriude´d lasolutionuniqueduProble`medeCauchypour(2),avecunedonne´einitiale arbitraire : x(t0) =x0,˙x(0) =x1.(3) dans les trois cas suivants : (i)a=b= 1,
