Problème de Bogomolov sur les variétés abéliennes - Soutenance de thèse
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Enonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennesVersions quantitatives de la conjecture de BogomolovResultats de la these et aper cu des methodesProbleme de Bogomolov sur les varietes abeliennesSoutenance de theseAurelien GalateauUniversite Paris 613 Decembre 2007Aurelien Galateau Probleme de Bogomolov sur les varietes abeliennesEnonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennesVersions quantitatives de la conjecture de BogomolovResultats de la these et aper cu des methodes1 Enonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennesTheoremes de nitude en geometrie diophantienneHauteur sur les varietes abeliennesConjecture de Bogomolov2 Versions quantitatives de la conjecture de BogomolovMinoration du minimum essentiel et theoreme d’uniformiteLien avec une version explicite du theoreme de FaltingsMinoration precise du minimum essentiel selon le degreApplication a la conjecture de Zilber-Pink3 Resultats de la these et aper cu des methodesLe theoreme principalOrganisation de la theseProprietes p-adiques des points de torsion d’une varieteabelienneAurelien Galateau Probleme de Bogomolov sur les varietes abeliennesEnonces de nitude et hauteurs sur les varietes abeliennes Theoremes de nitude en geometrie diophantienneVersions quantitatives de la conjecture de Bogomolov Hauteur sur les varietes abeliennesResultats de la these et aper cu des methodes Conjecture ...
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Français
13D´ecembre2007
Aur´elienGalateau
Universite´Paris6
Probl`emedeBogomolovsurlesvarie´t´esab´eliennes Soutenancedethe`se
e`seetap¸ R´esultatsdelathercudesme´thodes Lethe´or`emeprincipal Organisationdelathe`se Proprie´te´spevari´et´oidnu’enstedotsressdinpoad-ueiq ab´elienne
3
Versions quantitatives de la conjecture de Bogomolov Minorationduminimumessentieletth´eor`emed’uniformite´ Lienavecuneversionexpliciteduth´eor`emedeFaltings Minorationpr´eciseduminimumessentielselonledegr´e Applicationa`laconjecturedeZilber-Pink
2
Enonc´esdefinitudeethauteurssurlesvari´ete´sab´eliennes Th´`sdefinitudeenge´ome´triediophantienne eoreme Hauteursurlesvari´et´b´liennes es a e Conjecture de Bogomolov
1
neslienGalaAur´e`lmedeBeetuarPborlsuvaesomogovole´baneile´irse´t´cnonEssruetrura´ielvsfinitesdethauudeeanqutatirsVensioeilesenne´te´basomolovR´uredeBogcanoejtcitevdslem´esud¸cerapetsee`htaledstatluseedsteoh
Conjecture de Mordell
Th´eor`eme(Faltings,1983) SoitCunecourbealge´briquede´finiesuruncorpsdenombresKet de genre g≥2. Alors l’ensemble C(K)est fini.
surlesvaogomolovbae´ilneire´´tselaGaenli´eurABedeme`lborPuaet
The´or`eme(Raynaud,1983) Si C est de genre g≥2, les points de torsion de J(C)qui sont dans C sont en nombre fini.
Conjecture de Manin-Mumford
svlei´ar´eetb´saejnorutcBedemogoovolesR´tauldetseinnseeVsroisnuqantitativesdelacetuahteeelrussrueti´arsvelb´sa´ec´esEnonituddefinBegomoloejtcrudeennesConesab´eliirav´te´usruselreHnnteauhaopienteiide´rte´moeegnituddefinemeseor`´hTsedohte´msedu¸cerapetse`ethlaAur´elievo
D´efinition(intuitive) Unehauteursurunevarie´t´eV(projective)estune“fonctionde comptage”: h:V→R+“alrerusemedtemret´xilempcoquipe arithm´etique”despointsdeV.
Hauteurs
senneilab´et´esri´eesvauslrlovogomodeBeiopedinfiedVedstnu’aq’ylnrembnounedxueDHtslI.´reeorthedeNSoitcottalaGuaetborPme`l´egr.A≤D´eurenlisiusurcnrospededhauteur≤Hetd´efin
Proprie´t´edeNorthcott SoitDetHnyaquunnombrefiduerxe´le.slIedinniopedstV ’ ’ de hauteur≤Hr´enuocssrudegeprdsd´etniefi≤D.
D´efinition(intuitive) Unehauteursurunevarie´t´eV(projective)estune“fonctionde comptage”: h:V→R+qui permet de mesurer la “compl it´ ex e arithme´tique”despointsdeV.
nnei
Hauteurs
seeti´sa´eleurarsvetuassrudutihteec´esdefinEnonneene´ilsebae´´teBoguredjectsConHenneitnahpoideirivaesrlsuurteaulomovoonjeelacedeBcturlovogomoluat´Rsennieelb´iorsVeesitnauqsndsevitatsTh´eor`emesdefintidueegne´moe´rtdetsthlase`eapetc¸resedute´medoh
SoitAiennb´eliedeemunenavu´taeire´Lun fib ´ ample et re sym´etrique.Ondisposed’unehauteurprojectiveh. On construit ˆ parpassagea`lalimiteunehauteurcanoniqueh:
es
Hauteur canonique
talaGneilborPuaeBodeme`evslomogo|h(x)−ˆhive∀x∈A:.)uA´rlex(|)C≤A(ocPrdeheZ,n∈A.P∈orprtcejahaluetu(nP)peˆhgrouoideotsuopru(h)Pn=ˆ2lala`elbitapmoC
Compatiblea`laloidegroupe ˆ2ˆ h(nP) =n h(P) pour tousn∈Z,P∈A.
Hauteur canonique
SoitA´iravenuedniee´tee´baneilumenLunr´fibmpeaelte sym´etrique.Ondisposed’unehauteurprojectiveh construit. On ˆ parpassagea`lalimiteunehauteurcanoniqueh:
