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N D’ORDRE: 7531
´UNIVERSITE PARIS XI
UFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY
`THESE
pr´esent´ee pour obtenir le
GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES
´DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAY
par
´Julien DUBEDAT
Sujet:
Sur le processus de Schramm-Loewner
et la limite continue de la percolation critique plane
Soutenue le  juin  devant la Commission d’examen
M. Jean BERTOIN, rapporteur
M. Richard KENYON, examinateur
M. Jean-Franc¸ois LE GALL, examinateur
M. Yves LE JAN, pr´esident
M. Wendelin WERNER, directeurRemerciements
Je souhaite avant tout remercier Wendelin Werner. Il m’a initi´e `a un domaine de recherche
enthousiasmant, `a ses id´ees et ses m´ethodes. Par ses conseils´eclair´es, ses explications patientes,
ses indications pr´ecieuses, et son soutien constant, il a largement contribu´e `a fac¸onner cette
th`ese. Pour cela et pour le reste, je lui exprime ma profonde gratitude.
Jean Bertoin et Oded Schramm m’ont fait l’honneur d’accepter d’ˆetre rapporteurs. Je leur
suis extrˆemement reconnaissant d’avoir bien voulu assumer cette tˆache.
Je remercie´egalement Jean Bertoin, Richard Kenyon, Jean-Franc¸oisLe Gallet Yves Le Jan
d’avoir accept´e de faire partie du jury de soutenance.
Marc Yor et Jim Pitman ont contribu´e, par des conversations stimulantes, `a l’avanc´ee de
cetteth`ese.JesouhaiteaussiremercierVincentBeffara,Gr´egoryMiermontetS´ebastienGou¨ezel
pour de nombreuses discussions.
Jesuis´egalement tr`esreconnaissant envers Jean-Franc¸oisLeGall,pourses conseils toujours
avis´es et son soutien au fil des ans.
JesouhaiteremercierGregoryLawleretOdedSchrammpourlesoutienqu’ilsm’ontapport´e.
Je sais aussi gr´e `a Oded Schramm d’avoir introduit l’objet de ce travail!
Enfin, je remercie toute l’´equipe d’Orsay, qui m’a accueilli au long de cette th`ese.Table des mati`eres
1 Introduction 3
1.1 Cadre g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Universalit´e et invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Evolution de Schramm-Loewner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Percolation critique plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Plan g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 SLE et triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Mouvements browniens r´efl´echis, relations d’entrelacement, et probabi-
lit´es de croisement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Percolation critique dans les couronnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Martingales pour le SLE(κ,ρ) et dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 D´ecompositions en excursions pour le SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 SLE and triangles 17
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Chordal SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 A normalization of SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Privileged geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Radial SLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Related conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.1 FK percolation in isosceles triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2 UST in half-strips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.3 Double domino tilings in plane strips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 SLE(κ,ρ) processes and general triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.1 SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.2 A particular case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1`2 TABLE DES MATIERES
2.8 Locality, holonomy, and equianharmonic elliptic functions . . . . . . . . . . . . . 32
3 ReflectedplanarBrownianmotions,intertwiningrelationsandcrossingprob-
abilities 39
3.1 Introduction and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Invariance principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Intertwining Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Relation with Watts’ formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Vases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Critical percolation in annuli 55
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Annuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 SLE in an annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
4.4 Crossing of an annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 SLE(κ,ρ) martingales and duality 65
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Chordal SLE and SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Hulls and restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Restriction functionals for SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Some properties of SLE(κ,κ−4) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 Generalized SLE(κ,ρ) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Excursion decompositions for SLE 83
6.1 Properties of SLE(κ,κ−4) and SLE(κ,κ−4,κ−4) processes . . . . . . . . . . 84
6.2 Frontier points of SLE(κ,κ−4) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Cutpoints for SLE(κ,κ−4,κ−4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4 Proof of Watts’ formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Chapitre 1
Introduction
1.1 Cadre g´en´eral
1.1.1 Universalit´e et invariance conforme
Les syst`emes de la physique statistique sont g´en´eralement d´ecrits comme une famille de
variables al´eatoires index´ee par un ensemble de positions possibles (typiquement, un r´eseau).
L’espace probabilis´e sous-jacent est alors fini (dans le cas d’un syst`eme de spins), ou de di-
mension finie (par exemple dans le mod`ele O(n), ou` il s’agit d’un produit fini de groupes
orthogonaux). Il s’agit alors de sp´ecifier la loi jointe de ces (nombreuses) variables; les mesures
de Gibbs fournissent une vaste famille de mod`eles.
A grande ´echelle, deux types de comportements sont possibles. Dans le premier cas, le
syst`ememacroscopiqueadopteuncomportementmoyen,commedanslaloidesgrandsnombres;
on peut alors s’int´eresser par exemple aux grandes d´eviations. Dans le second cas, un objet
limite al´eatoire apparaˆıt, et on peut d´efinir des ´ev´enements macroscopiques aux probabilit´es
diff´erentes de 0 et 1.
Lorsquedeschoixrelativementarbitrairessonteffectu´esdanslasp´ecification“`avolumefini”
(comme le choix d’un r´eseau sous-jacent), on peut esp´erer que la limite continue ne d´ependra
pas de ceux-ci; on parle d’universalit´e. Dans ce cas, la limite h´erite de certaines invariances.
Consid´erons par exemple une marche al´eatoire dans un espace euclidien, dont les pas
ind´ependants et identiquement distribu´es sont de moyenne nulle, et de matrice de covariance
proportionnelle `a l’identit´e. Le principe d’invariance de Donsker indique alors que la limite
continue existe et est d´ecrite par le mouvement brownien. Ainsi, une classe de mod`eles dis-
crets converge vers une unique limite (`a un facteur d’´echelle pr`es). En particulier, cette limite
est n´ecessairement invariante en loi par isom´etrie (puisque si une marche converge vers le
mouvement brownien, l’image de cette marche parune isom´etrie converge vers lamˆeme loi). Le
mouvement brownienestdonc,`areparam´etragepr`es,invariantparisom´etrieetparhomoth´etie.
Dufaitde sa propri´et´e de Markov, ceci indique que le mouvement brownien est´egalement inva-
riant (`a reparam´etrage pr`es) sous l’action d’une transformation de son espace d’´etats qui n’est
que localement la composition d’une homoth´etie et d’une isom´etrie. Une telle application est
34 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
une application conforme, et un r´esultat classique de Paul L´evy pr´ecise que l’image du mou-
vement brownien par une application conforme (et par exemple arrˆet´e `a sa sortie de l’ensemble
de d´efinition de cette application), est un mouvement brownien reparam´etr´e en temps.
La typologie des applications conformes en dimension 2 est tr`es diff´erente de la situation
en dimension sup´erieure. En effet, les applications conformes en dimension plus grande que 2
(c’est-`a-dire les applications qui pr´eservent la notion d’orthogonalit