UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
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Français
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2009
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN D'OCTOBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 1h30 Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Trouver un équivalent simple de la suite (un)n≥1 définie par un = √ n +√n? √ n + 3√n ln(n +√n) . Exercice 2 Soit la suite (un)n≥1 de nombres réels strictement positifs définie par la donnée de u1 > 0, et, pour tout n ≥ 1, la relation un+1 = nun nun + 1 . a) Montrer que la suite (un)n≥1 est majorée. b) Pour n ≥ 2, étudier le signe de n?(n+1)un+1, et en déduire que la suite (un)n≥1 est monotone à partir d'un rang n0 que l'on précisera. c) Montrer que la suite (un) converge vers une limite ? non nulle, calculer cette limite et trouver un équivalent simple de ?? un. Exercice 3 Soit trois fonctions f , g, h définies sur [ a, +∞ [ telles que, les fonctions f et h soient équiva- lentes au voisinage de +∞ et telles que pour tout x de [ a, +∞ [ , on ait 0 < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
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UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN D'OCTOBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 1h30 Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Trouver un équivalent simple de la suite (un)n≥1 définie par un = √ n +√n? √ n + 3√n ln(n +√n) . Exercice 2 Soit la suite (un)n≥1 de nombres réels strictement positifs définie par la donnée de u1 > 0, et, pour tout n ≥ 1, la relation un+1 = nun nun + 1 . a) Montrer que la suite (un)n≥1 est majorée. b) Pour n ≥ 2, étudier le signe de n?(n+1)un+1, et en déduire que la suite (un)n≥1 est monotone à partir d'un rang n0 que l'on précisera. c) Montrer que la suite (un) converge vers une limite ? non nulle, calculer cette limite et trouver un équivalent simple de ?? un. Exercice 3 Soit trois fonctions f , g, h définies sur [ a, +∞ [ telles que, les fonctions f et h soient équiva- lentes au voisinage de +∞ et telles que pour tout x de [ a, +∞ [ , on ait 0 < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).
- théorèmes sur les limites de sommes et de quotients
- n? √
- théorème d'encadrement
- semestre d'automne responsable
- signe de n?
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
EXAMEN D’OCTOBRE 2009
Licence LCMA 1ère année Analyse 1 Semestre d’automne Calculatrices non autorisées
Durée du sujet : 1h30 Responsable : G. Eguether Documents non autorisés
Exercice 1 Trouver un équivalent simple de la suite(un)n≥1définie par 3 n+n−n+n un=. ln(n+n)
Exercice 2 Soit la suite(un)n≥1de nombres réels strictement positifs définie par la donnée deu1>0, et, pour toutn≥1, la relation nun un+1=. nun+ 1 a) Montrer que la suite(un)n≥1est majorée.
b) Pourn≥2, étudier le signe den−(n+1)un+1, et en déduire que la suite(un)n≥1est monotone à partir d’un rangn0que l’on précisera.
c) Montrer que la suite(un)converge vers une limiteℓnon nulle, calculer cette limite et trouver un équivalent simple deℓ−un. Exercice 3 Soit trois fonctionsf,g,hdéfinies sur[a,+∞[telles que, les fonctionsfethsoient équiva lentes au voisinage de+∞et telles que pour toutxde[a,+∞[, on ait0< f(x)≤g(x)≤h(x). Montrer que les fonctionsfetgsont équivalentes au voisinage de+∞.
Application : montrer qu’au voisinage de+∞, on aE(x)∼x, oùE(x)désigne la partie entière dex.
Exercice 4 n+1 1 (−1) Soit la suite(un)n≥1définie parun= 1−+∙ ∙ ∙+. 2n a) Montrer que les suites(u2n)n≥1et(u2n+1)n≥0sont adjacentes. b) Montrer que la suite(un)converge et que sa limiteℓvérifie 1 |un−ℓ| ≤. n+ 1
