UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
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Français
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2009
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE NOVEMBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 2H Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = ln(1 + x)? sinx ex ? x? 1 . Exercice 2 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = (2 + x) √ 1+x . Exercice 3 Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre n en a puis utiliser cette formule pour obtenir le développement limité de tan x à l'ordre 3 au voisinage de pi/4. Exercice 4 Soit f une fonction continue en x = 1 et admettant au voisinage de 1 le développement limité f(x) = 2 ? 3(x? 1) ? 2(x? 1)3 + ?((x? 1)3) . Faire le dessin représentant l'allure du graphe de la fonction au voisinage de 1. Exercice 5 Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction f définie sur R par f(x) = ? ? ? x2 ? ax + b si x > ?1 a2 si x = ?1 ?2ax + b si x < ?1 soit continue sur R.
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UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE NOVEMBRE 2009 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 2H Analyse 1 - Semestre d'automne Responsable : G. Eguether Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = ln(1 + x)? sinx ex ? x? 1 . Exercice 2 Calculer le développement limité à l'orde 2 en 0 de f(x) = (2 + x) √ 1+x . Exercice 3 Ecrire la formule de Taylor-Young à l'ordre n en a puis utiliser cette formule pour obtenir le développement limité de tan x à l'ordre 3 au voisinage de pi/4. Exercice 4 Soit f une fonction continue en x = 1 et admettant au voisinage de 1 le développement limité f(x) = 2 ? 3(x? 1) ? 2(x? 1)3 + ?((x? 1)3) . Faire le dessin représentant l'allure du graphe de la fonction au voisinage de 1. Exercice 5 Déterminer les nombres réels a et b pour que la fonction f définie sur R par f(x) = ? ? ? x2 ? ax + b si x > ?1 a2 si x = ?1 ?2ax + b si x < ?1 soit continue sur R.
- courbe
- développement limité
- semestre d'automne responsable
- formule de taylor-young
- ex ?
- division suivant les puissances croissantes
- dessin grossier du graphe
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES
EXAMEN DE NOVEMBRE 2009
Licence LCMA 1ère année Analyse 1 Semestre d’automne Calculatrices non autorisées
Durée du sujet : 2H Responsable : G. Eguether Documents non autorisés
Exercice 1
Calculer le développement limité à l’orde2en0de
ln(1 +x)−sinx f(x) =. x e−x−1
Exercice 2
Calculer le développement limité à l’orde2en0de
1+x f(x) = (2 +x).
Exercice 3
Ecrire la formule de TaylorYoung à l’ordrenenapuis utiliser cette formule pour obtenir le développement limité detanxà l’ordre3au voisinage deπ/4.
Exercice 4
Soitfune fonction continue enx= 1et admettant au voisinage de1le développement limité 3 3 f(x) = 2−3(x−1)−2(x−1) +◦((x−1) ). Faire le dessin représentant l’allure du graphe de la fonction au voisinage de1.
Exercice 5
Déterminer les nombres réelsaetbpour que la fonctionfdéfinie surRpar 2 x−ax+bsix >−1 2 f(x) =asix=−1 −2ax+bsix <−1 soit continue surR.
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T.S.V.P
