Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2006 Corrigé de l'examen du 15 juin 2006. Première partie : exercices 1–3 Ex 1. Vitesse moyenne (3 points) On a enregistré à l'aide d'un radar les vitesses X1(?) = x1, . . . , X400(?) = x400 de 400 automobiles dans des conditions permettant de supposer que X1, . . . , X400 sont indépendantes et de même loi. On a obtenu les statistiques suivantes : 400∑ i=1 xi = 35 200 km/h, 400∑ i=1 x2i = 3 107 600 (km/h) 2. On se propose d'estimer EX1 par un intervalle de confiance au niveau 98%. Ici la loi des v.a. Xi est inconnue. Il est clair pour des raisons physiques que les Xi sont des v.a. bornées, donc a fortiori de carré intégrable. Un estimateur naturel de EX1 est la moyenne empirique X en raison de la loi forte des grands nombres. On va chercher pour EX1 un intervalle de confiance centré sur X(?) = 35 200/400 = 88 km/h. Pour construire cet intervalle de confiance, on ne peut pas utiliser ici le théorème limite central classique car l'écart-type ? des xi est inconnu.
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Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2006 Corrigé de l'examen du 15 juin 2006. Première partie : exercices 1–3 Ex 1. Vitesse moyenne (3 points) On a enregistré à l'aide d'un radar les vitesses X1(?) = x1, . . . , X400(?) = x400 de 400 automobiles dans des conditions permettant de supposer que X1, . . . , X400 sont indépendantes et de même loi. On a obtenu les statistiques suivantes : 400∑ i=1 xi = 35 200 km/h, 400∑ i=1 x2i = 3 107 600 (km/h) 2. On se propose d'estimer EX1 par un intervalle de confiance au niveau 98%. Ici la loi des v.a. Xi est inconnue. Il est clair pour des raisons physiques que les Xi sont des v.a. bornées, donc a fortiori de carré intégrable. Un estimateur naturel de EX1 est la moyenne empirique X en raison de la loi forte des grands nombres. On va chercher pour EX1 un intervalle de confiance centré sur X(?) = 35 200/400 = 88 km/h. Pour construire cet intervalle de confiance, on ne peut pas utiliser ici le théorème limite central classique car l'écart-type ? des xi est inconnu.
- carré intégrable
- moyenne empirique
- borne droite par excès
- s?n
- ?1 ?
- ????? n?
- yn
- ex1
IS Math314
Universit´e U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Corrigédel’examen Premièrepartie:
Technologies de Lille Pures et Appliquées
du 15 juin 2006. exercices 1–3
Année 2006
Ex 1.Vitesse moyenne (3 points) On a enregistré à l’aide d’un radar les vitessesX1(ω) =x1, . . . , X400(ω) =x400 de400automobiles dans des conditions permettant de supposer queX1, . . . , X400sont indépendantes et de même loi. On a obtenu les statistiques suivantes : 400 400 X X 2 2 xi= 35 200 km/h, x= 3 107 600 (km/h). i i=1i=1 On se propose d’estimerEX1par un intervalle de confiance au niveau 98%. Ici la loi des v.a.Xiest inconnue. Il est clair pour des raisons physiques que lesXi sont des v.a. bornées, donca fortioride carré intégrable. Un estimateur naturel deEX1 est la moyenne empiriqueXen raison de la loi forte des grands nombres. On va chercher pourEX1un intervalle de confiance centré surX(ω) = 35 200/400 = 88 km/h. Pour construire cet intervalle de confiance, on ne peut pas utiliser ici le théorème limite central classique car l’écart-typeσdesxiest inconnu. On va utiliser le TLC avec autonormalisation où l’on remplaceσparS, la racine carrée de la variance empirique n n X X 1 1 2 22 2 S:= (Xi−EXi) =X−(X). i n n i=1i=1 LesXiétant de carré intégrable, le TLC avec autonormalisation nous dit que √ X−EX1 loi n−−−−→Z, Z∼N(0,1).(1) S n→+∞ Cette convergence légitime pourngrand, l’approximation √X−EX1 Pn≤t'P(|Z| ≤t)) = 2Φ(t)−1, S oùΦest la f.d.r. de la loiN(0,1). La résolution d’inégalité : √X−EX tStS 1 n≤t⇔X≤− √EX1≤X+√, S nn
