Universite de Nice Option Maths L1 1er semestre
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Universite de Nice Option Maths L1 1er semestre 2011/2012 Autour de la diagonale de Cantor 1 Introduction Le but de cette feuille est de voir comment notre intution peut etre rapide- ment mise en defaut lorsque l'on manipule des ensembles infinis. Nous allons plus particulierement nous interesser a la notion de ”taille” d'un ensemble. Pour un en- semble fini, la ”taille” est parfaitement determinee par un nombre entier : le nombre d'elements de l'ensemble. On appelle ce nombre le cardinal de l'ensemble. On peut raisonnablement dire que deux ensembles sont de meme taille si et seulement si ils ont meme cardinal. En revanche, notre vocabulaire devient un peu flou lorsque l'on manipule des ensembles infinis, tels que N, R etc... Tous ces ensembles ont ”une in- finite d'elements”. Serait-ce donc que tous les ensembles infinis ont la meme taille ? Sur ce point, deux arguments contradictoires, et qui paraissent pourtant “ de bon sens”, sont souvent avances. Le premier est “ben oui ! deux ensembles infinis ont le meme nombre d'elements : une infinite tous les deux.” Le second est “ben non ! Tous les ensembles infinis n'ont pas la meme taille. La preuve, il suffit d'en pren- dre un et de lui rajouter plein de nouveaux elements pour obtenir un ensemble plus gros”.
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Universite de Nice Option Maths L1 1er semestre 2011/2012 Autour de la diagonale de Cantor 1 Introduction Le but de cette feuille est de voir comment notre intution peut etre rapide- ment mise en defaut lorsque l'on manipule des ensembles infinis. Nous allons plus particulierement nous interesser a la notion de ”taille” d'un ensemble. Pour un en- semble fini, la ”taille” est parfaitement determinee par un nombre entier : le nombre d'elements de l'ensemble. On appelle ce nombre le cardinal de l'ensemble. On peut raisonnablement dire que deux ensembles sont de meme taille si et seulement si ils ont meme cardinal. En revanche, notre vocabulaire devient un peu flou lorsque l'on manipule des ensembles infinis, tels que N, R etc... Tous ces ensembles ont ”une in- finite d'elements”. Serait-ce donc que tous les ensembles infinis ont la meme taille ? Sur ce point, deux arguments contradictoires, et qui paraissent pourtant “ de bon sens”, sont souvent avances. Le premier est “ben oui ! deux ensembles infinis ont le meme nombre d'elements : une infinite tous les deux.” Le second est “ben non ! Tous les ensembles infinis n'ont pas la meme taille. La preuve, il suffit d'en pren- dre un et de lui rajouter plein de nouveaux elements pour obtenir un ensemble plus gros”.
- zero-ieme
- universite de nice option
- meme ordre d'idee
- diagonale du tableau
- infinite d'elements
Universit´edeNice L1
Option Maths 1er semestre 2011/2012
Autour de la diagonale de Cantor 1 Introduction Lebutdecettefeuilleestdevoircommentnotreintutionpeutˆetrerapide-mentmiseende´fautlorsquel’onmanipuledesensemblesinfinis.Nousallonsplus particulie`rementnousint´eresser`alanotionde”taille”d’unensemble.Pourunen-semblefini,la”taille”estparfaitementd´etermine´eparunnombreentier:lenombre d’´ele´mentsdel’ensemble.Onappellecenombrelecardinaldel’ensemble.Onpeut raisonnablementdirequedeuxensemblessontdemeˆmetaillesietseulementsiils ontmˆemecardinal.Enrevanche,notrevocabulairedevientunpeufloulorsquel’on manipule des ensembles infinis, tels queN,Retc... Tous ces ensembles ont ”une in-finit´ed’e´l´ements”.Serait-cedoncquetouslesensemblesinfinisontlamˆemetaille? Sur ce point, deux arguments contradictoires, et qui paraissent pourtant “ de bon sens”,sontsouventavanc´es.Lepremierest“ben oui! deux ensembles infinis ont lemˆemenombred’´el´ements:uneinfinite´touslesdeux.”Le second est!“ben non Touslesensemblesinfinisn’ontpaslameˆmetaille.Lapreuve,ilsuffitd’enpren-dreunetdeluirajouterpleindenouveaux´el´ementspourobtenirunensembleplus gros”.Nous allons essayer de voir qu’en fait, aucun de ces deux raisonnements n’est correct.Ilfautpr´eciserqu’ilafalluattendrelafindu19`emesie`cleetlestravauxdu mathe´maticienGeorgCantor(1845-1918)pourclarifiertoutescesnotions,etlorsque cestravauxontvulejour,ilsontsucit´edevivespole´miques(cequiestplutˆotrare enmathe´matiques).C’estdiresilesconclusionsdeCantore´taient,commevousallez sansdoutevousenapercevoir,r´evolutionairesetpeuintuitives.Pourunebiogra-phie de Cantor, consultez par exemple le site http ://www.bibmath.net/bios/ (ce siterecenselesbiographiesdenombreuxmath´ematiciens.Ilvoussuffitdecliquer “Cantor”). Jusq’ici,onasouventutilise´desguillemetspourparlerde”taille”d’unensemble. Notrepremi`eretˆachevadoncˆetred’essayerdetrouveruned´efinitiond’ensembles demeˆmetaille.Onproposelad´efinitionsuivante: 0 D´efinition:deux ensemblesEetEnestiiletseulemtaillesimedtemeˆnos 0 existe une bijectionfentreEetE. Question 1efinited´estutioneuezlpqiciteqnoun.Exobendennnfie´oiti Demeˆmeexpliquezpourquoionaenviededonnerlad´efinitionsuivante: 0 De´finition:Un ensembleEest dit ”plus gros” qu’un ensembleEs’il existe une 0 surjection deEsurE. Remarquezquecettenotionde”plusgros”esta`prendreausenslarge:lefait, 0 0 pourEsqroueeptrsglu,eˆ’dE, n’exclue pas queEetEmˆemntdesoieed(elliate meˆmequesurlesre´els,x≥yn’exclue pasx=y). Par contre, siEest plus gros que 0 0 Eet qu’il n’existe aucune bijection entreEetE, on dira queEeststrictement 0 plus grosqueE.
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