Universite de Nancy I Licence
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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Universite de Nancy I Licence 3 Integration et Probabilites corrige de l'examen du 14 janvier 2011 Probleme 1 1. Soit x > 0. La fonction t 7? e?tt ? e?xt 1?e?t est continue sur ]0,+∞[, donc localement integrable sur ]0,+∞[. Observons le comportement lorsque t tend vers 0. On a e?t t ? e ?xt 1? e?t = (1? e ?t)e?t ? te?xt t(1? e?t) . En 0, on a 1? e?t ? t, d'ou t(1? e?t) ? t2. Pour le numerateur, e?t ? e?2t ? te?xt = (1? t+O(t2))? (1? 2t+O(t2))? t(1 +O(t)) = (t+O(t2))? (t+O(t2)) = O(t2). Finalement e?tt ? e?xt 1?e?t = O(1) au voisinage de 0 ce qui donne l'integrabilite sur ]0,max(1, x)]. Pour t ? [max(1, x),+∞[, on a |e ?t t ? e ?xt 1? e?t | ≤ e ?t t + e ?xt 1? e?t ≤ e?t + 1 1? e?x e?xt, ce qui donne l'integrabilite sur [1,+∞[.
Voir
Universite de Nancy I Licence 3 Integration et Probabilites corrige de l'examen du 14 janvier 2011 Probleme 1 1. Soit x > 0. La fonction t 7? e?tt ? e?xt 1?e?t est continue sur ]0,+∞[, donc localement integrable sur ]0,+∞[. Observons le comportement lorsque t tend vers 0. On a e?t t ? e ?xt 1? e?t = (1? e ?t)e?t ? te?xt t(1? e?t) . En 0, on a 1? e?t ? t, d'ou t(1? e?t) ? t2. Pour le numerateur, e?t ? e?2t ? te?xt = (1? t+O(t2))? (1? 2t+O(t2))? t(1 +O(t)) = (t+O(t2))? (t+O(t2)) = O(t2). Finalement e?tt ? e?xt 1?e?t = O(1) au voisinage de 0 ce qui donne l'integrabilite sur ]0,max(1, x)]. Pour t ? [max(1, x),+∞[, on a |e ?t t ? e ?xt 1? e?t | ≤ e ?t t + e ?xt 1? e?t ≤ e?t + 1 1? e?x e?xt, ce qui donne l'integrabilite sur [1,+∞[.
- loi exponentielle de parametre ?
- theoreme de transfert
- loi exponen- tielle de parametre n?
- e?t ?
- loi exponentielle de parametre n?
- mn ≤
- theoreme de convergence dominee
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