Universite Claude Bernard Lyon I
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Français
Documents scolaires
2004
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Universite Claude Bernard Lyon I Licence “Mathematiques et informatique” Premiere annee Unite d'enseignement Math I Correction de l'epreuve de mathematiques 1ere Session de JANVIER 2004 6 janvier 2004 ? duree : 2 heures Ceci est un resume de redaction. Les mots en italiques sont des termes importants attendus par le correcteur. Exercice 1 Soit f l'application de R+ dans R+ definie par f(t) = (32 + t)1/5. 1. On a f ?(t) = 15(32 + t) ?4/5 et f ??(t) = ? 425(32 + t) ?9/5. 2. La fonction f est continument derivable sur [0, x] et deux fois derivable sur ]0, x[ donc on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange a l'ordre 2. On obtient (32 + x)1/5 = 321/5 + 1 5 32?4/5x? 2 5 (32 + c)?9/5x2, pour un reel c de ]0, x[. En calculant, on obtient (32 + x)1/5 = 2 + 1 80 x? 2 5 (32 + c)?9/5x2. La fonction t 7? ?25(32 + t) ?9/5 est strictement croissante et negative sur [0, x], d'ou ? 2 5 (32)?9/5 < ? 2 5 (32
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Universite Claude Bernard Lyon I Licence “Mathematiques et informatique” Premiere annee Unite d'enseignement Math I Correction de l'epreuve de mathematiques 1ere Session de JANVIER 2004 6 janvier 2004 ? duree : 2 heures Ceci est un resume de redaction. Les mots en italiques sont des termes importants attendus par le correcteur. Exercice 1 Soit f l'application de R+ dans R+ definie par f(t) = (32 + t)1/5. 1. On a f ?(t) = 15(32 + t) ?4/5 et f ??(t) = ? 425(32 + t) ?9/5. 2. La fonction f est continument derivable sur [0, x] et deux fois derivable sur ]0, x[ donc on peut appliquer la formule de Taylor-Lagrange a l'ordre 2. On obtient (32 + x)1/5 = 321/5 + 1 5 32?4/5x? 2 5 (32 + c)?9/5x2, pour un reel c de ]0, x[. En calculant, on obtient (32 + x)1/5 = 2 + 1 80 x? 2 5 (32 + c)?9/5x2. La fonction t 7? ?25(32 + t) ?9/5 est strictement croissante et negative sur [0, x], d'ou ? 2 5 (32)?9/5 < ? 2 5 (32
- unite d'enseignement math
- correction de l'epreuve de mathematiques
- formule de taylor-lagrange
- z? z verifiant
Universit´eClaudeBernardLyonI Licence“Math´ematiquesetinformatique” Premi`ereanne´e Unite´d’enseignementMathI Correctiondel’e´preuvedemathe´matiques 1`ereSessiondeJANVIER2004 6 janvier 2004−´eur2he:sueder
Ceci est un resume de redaction.Les mots en italiques sont des termes importants attendus par le correcteur. Exercice 1 + +1/5 Soitfl’application deRdansRd´arepniefif(t) = (32 +t) . 01−4/5004−9/5 1. Onaf(t(32 +) =t) etf(t) =−(32 +t) . 5 25 2. Lafonctionfestcontinument derivablesur [0, x] etdeux fois derivablesur ]0, x[ donc on peut appliquer laformule de Taylor-Lagrangea l’ordre 2.On obtient 1 2 1/5 1/5−4/5−9/5 2 (32 +x32 +32) =x−(32 +c)x , 5 5 pour un reelcde ]0, x[. Encalculant, on obtient 1 2 1/5−9/5 2 (32 +x2 +) =x−(32 +c)x . 80 5 2−9/5 La fonctiont7→ −(32 +t) eststrictement croissanteet negative sur [0, x], 5 d’ou 2 2 −9/5−9/5 −(32)<−(32 +c)<0. 5 5 D’ou 1 11 2 1/5 2 +x−x <(32 +x)<2 +x. 80 640080 3. Enposantx= 1, on a √ 161 15161 −<33< . 80 640080 Exercice 2
1
