Universite Claude Bernard Lyon Corrige de l'examen du Janvier Master 1ere annee Duree heures
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Universite Claude Bernard Lyon 1 Corrige de l'examen du 6 Janvier 2009 Master 1ere annee Duree 3 heures Analyse EXERCICE 1 (Operateurs compacts). 1,5+1+2=4,5 pts 1. Application de l'inegalite de Holder donne |uf(n)| = | ∑ m≥0 K(n,m)f(m)| ≤ ?K(n, ·)?2?f?2. Comme ?K(n, ·)?2 ≤ ?K?2 ceci montre que uf est bien defini. La linearite de u est directe. De plus, ceci montre que ?uf?22 = ∑ n≥0 |uf(n)|2 ≤ ∑ n≥0 ?K(n, ·)?22?f? 2 2. Comme ∑ n≥0 ?K(n, ·)? 2 2 = ?K? 2 2 (K ? 2(N ? N) implique que la l'ordre de la somme n'importe pas) on trouve uf ? 2(N) et ?u? ≤ ?K?2. 2. Si le support the K est compact alors il est fini (comme la topologie de N?N est discrete) et donc il existe N ? N tel qu'il est inclu dans la bande [0, N ]? N. En particulier, K(n,m) = 0 si n > N est donc uf(n) = 0 si n > N .
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Universite Claude Bernard Lyon 1 Corrige de l'examen du 6 Janvier 2009 Master 1ere annee Duree 3 heures Analyse EXERCICE 1 (Operateurs compacts). 1,5+1+2=4,5 pts 1. Application de l'inegalite de Holder donne |uf(n)| = | ∑ m≥0 K(n,m)f(m)| ≤ ?K(n, ·)?2?f?2. Comme ?K(n, ·)?2 ≤ ?K?2 ceci montre que uf est bien defini. La linearite de u est directe. De plus, ceci montre que ?uf?22 = ∑ n≥0 |uf(n)|2 ≤ ∑ n≥0 ?K(n, ·)?22?f? 2 2. Comme ∑ n≥0 ?K(n, ·)? 2 2 = ?K? 2 2 (K ? 2(N ? N) implique que la l'ordre de la somme n'importe pas) on trouve uf ? 2(N) et ?u? ≤ ?K?2. 2. Si le support the K est compact alors il est fini (comme la topologie de N?N est discrete) et donc il existe N ? N tel qu'il est inclu dans la bande [0, N ]? N. En particulier, K(n,m) = 0 si n > N est donc uf(n) = 0 si n > N .
- ?k ?
- algebre de banach
- prolongement lineaire
- norme sup dans c0
- l1 ?
- meme norme
- support compact
Universit´eClaudeBernardLyon1 2009 Master1`ereann´ee
Corrig´edel’examendu6Janvier
Analyse
EXERCICE1(Op´erateurscompacts).
Dure´e3heures
1,5+1+2=4,5 pts
1.Applicationdel’in´egalite´deH¨olderdonne |uf(n)|=|XK(n, m)f(m)| ≤ kK(n,∙)k2kfk2. m≥0
CommekK(n,∙)k2≤ kKk2ceci montre queuf.ebistd´enniefi Laline´arite´deuest directe. De plus, ceci montre que kufk22=X|uf(n)|2≤XkK(n,∙)k22kfk22. n≥0n≥0 CommePn≥0kK(n,∙)k22=kKk22(K∈`2`2(N×N) implique que la l’ordre de la somme n’importe pas) on trouveuf∈(N) etkuk ≤ kKk2. 2. Si le support theKest compact alors il est fini (comme la topologie deN×Nest discrete) et donc il existeN∈Ntel qu’il est inclu dans la bande [0, N]×N. En particulier,K(n, m) = 0 sin > Nest doncuf(n) = 0 sin > N l’image de. Donc uest inclu dans`2([0, N]), ce qui est un sous-espace de dimension fini de`2(N). Doncuest de rang fini. 3. SoitK∈`2(N×N). Les fonctionsN×N→C`esnedtnosnadsrtpoupastsacmpco `2(N×N).Kest alors limite d’une suite (Kn)n∈ L2(N×N)o`uKnest de support compact. Soit (un)niuet’dpoe´aretrulas.see´icossasku−nnk ≤ kK−Knk2 montre que (un)nconverge versu plus. Deun Doncest compact car de rang fini. ul’ensembt´e.Cotmemueaursettirdueos’teild’edup’oee´nesimtl pera rs compac compactesestferm´e,uest compact.
EXERCICE 2 (Limites de Banach).2+2+0,5+2,5=7 pts On note`∞les suites (xn)n≥1dansRuqsinobtron´eesetc⊂`∞les suites convergentes, c0⊂c Pourles suites qui tendent vers 0.x= (x0, x1,∙ ∙ ∙)∈`∞on poseT(x) = (x1, x2,∙ ∙ ∙)esuteb.Lcnofnoittsixenuequerle’iemtdtroneaireellelin´λsur`∞de norme 1 qui estT-invariante et satisfaitλ(x) = limn→∞x(n) en cas que ce limite existe.
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