Universite Claude Bernard Lyon Annee
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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Universite Claude Bernard Lyon 1 Annee 2011-12 UE Analyse. Pharmacie-Ingenieurs 3eme annee Bibliographie : - Pierre Vigoureux, “Analyse”, tome 2. Editions ellipses. - Jean-Marie Monier “Analyse”. Edition Dunod. Table des matieres 1 Bornes superieure et borne inferieure 3 2 Les nombres complexes. Quelques rappels 4 2.1 Le corps C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Partie reelle et imaginaire. Conjugue. Module et argument . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Exponentielle d'un nombre imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Suites numeriques 6 3.1 Suites convergentes et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Utilisation de l'axiome du sup . .
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Universite Claude Bernard Lyon 1 Annee 2011-12 UE Analyse. Pharmacie-Ingenieurs 3eme annee Bibliographie : - Pierre Vigoureux, “Analyse”, tome 2. Editions ellipses. - Jean-Marie Monier “Analyse”. Edition Dunod. Table des matieres 1 Bornes superieure et borne inferieure 3 2 Les nombres complexes. Quelques rappels 4 2.1 Le corps C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Partie reelle et imaginaire. Conjugue. Module et argument . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Exponentielle d'un nombre imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Suites numeriques 6 3.1 Suites convergentes et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Utilisation de l'axiome du sup . .
- suites complexes
- operation de somme definie
- argument de z
- notation algebrique
- demi-axe des abscisses positives
- series entieres
- ordre de multiplicite
- rayon de convergence
Universit´eClaudeBernardLyon1Anne´e2011-12 UEAnalyse.Pharmacie-Ing´enieurs3e`meanne´e Bibliographie : ´ - Pierre Vigoureux, “Analyse”, tome 2. Editions ellipses. ´ - Jean-Marie Monier “Analyse”. Edition Dunod. Tabledesmatie`res 1Bornessup´erieureetborneinfe´rieure3 2 Les nombres complexes. Quelques rappels 4 2.1 Le corpsC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2Partiere´elleetimaginaire.Conjugue´.Moduleetargument.............4 2.3 Exponentielle d’un nombre imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3Suitesnume´riques6 3.1 Suites convergentes et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Utilisation de l’axiome du sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4 lim sup et lim inf d’une suit ´ lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 e ree 3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4S´eriesdansRouC11 4.1Premierscrit`eresdeconvergence...........................12 4.2Se´riesr´eelles`atermespositifs.............................12 4.3Crite`resdeconvergencepourlesse´riesatermescomplexes.............15 ` 4.4 Sommation par paquets, changement de l’ordre des termes . . . . . . . . . . . . . 16 5 Suites de fonctions 18 5.1 Convergence simple et uniforme d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2Propri´ete´sdelaconvergenceuniforme........................18 5.3Lecasdessuitesdesfonctionsa`valeurscomplexes.................20 6S´eriesdefonctions20 7Se´riesentieres21 ` 7.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.2De´rivabilite´etint´egrationd’unes´erieentie`re....................22 7.3Fonctionsd´eveloppablesens´eriesenti`eres......22 . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4Se´riesenti`erescomplexes................................23 8S´eriesdeFourier24 8.1Se´riestrigonome´triques................................24 8.2De´veloppementense´riedeFourierd’unefonctionpe´riodique...........25 AExercicessurlesbornessup´erieureetinfe´rieure26 B Exercices sur les nombres complexes 26 1
C
D
E
F
G
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Exercices
Exercices
Exercices
Exercices
Exercices
Exercices
sur
sur
sur
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les
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suites
´ i s ser e
suites
se´ries
se´ries
s´eries
num´eriques
num´riques e
de fonctions
de fonctions
enti` eres
de
Fourier
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1Bornessup´erieureetborneinfe´rieure Nouscommenconsparrappelerquelquesnotionse´troitementli´ees`alarelationd’ordre≤ ¸ d´efiniedansl’ensembleReelsesr´ombrdesn. De´finition1.1.SoitA⊂Retm,Mxneudle.smorbree´ - On dit queMest unmajorant deAdansRsi et seulement si :∀a∈A, a≤M. - On dit quemest unminorant deAdansRsi et seulement si∀a∈A, m≤a. - On dit queMstepllegrus´dnae´letnemedA(ou lemaximum deA) siM∈AetMest un majorant deAtirce´nO.soralM= maxA - On dit quemsulpellpetsmentel´etit´uspeedA(ou leminimum deA) sim∈Aetm est un minorant deA.nOe´scritalorm= minA. Exemple 1.1.max([0,1]) = 1. max([0,1[) n’existe pas max([0,+∞[) n’existe pas. D´efinition1.2.Une partie deAest ditee´eorajm(resp.ee´ronim) dansRsi et seulement s’il ´ existe au moins un majorant (resp. un minorant) deAdansRartiunepetEna.´needtnoAdeR: - on appellereeuri´edepusenrobAdansRle plus petit des majorants deAdansR, s’il existe.Cet´el´ementestnot´esupA. - on appelleboederueire´fnienrAdansRle plus grand des minorants deAdansR, s’il existe.Cet´el´ementestnot´einfA. Exemple 1.2.sup([0,1]) = 1, sup([0,1[) = 1, sup([0,+∞isexn’[)(sametap’suasinose`atori0iresu´pe(c[r,+∞[) = +∞).
Nousadmettonsleth´eor`emesuivant,quel’one´tablitlorsquel’onconstruitrigoureusement l’ensembleRuosngarvecsniatrda,(dumelemmoceuoixa’l“’ssoui-deconnsestrpposeal´tceire´ sup”). Th´eore`me1.1.ee´redtienonvideetmajooTtuperaRadmet une borne superieure dansR. ´ Enconside´rantl’ensembledesoppos´esdese´l´ementsd’unepartieAon obtient ceci : toute partienon-videetminor´eedeRaroenni´fmdtenubederueiresnaR. Remarque 1.3.uqpearite´etuodrerlerminsupapslanDSd’une partieAdeRon utilise souventcettecaracte´risation: S= supA⇐⇒(∀a∈A:a≤S ∀ >0,∃a∈Atel queS− < a. Onpeutcaract´eriserl’infIdeAallbesbm:edne’unimare`e (∀∀ >0,∃aI∈≤Aatel quea < I+. I= infA⇐⇒a∈A:
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2 Les nombres complexes. Quelques rappels 2.1 Le corpsC Certaine´uationsalg´ebriquesdedegre´≥dte2erexpmelc,moemaper´eelle’inconnux2+ s eq 1=0,n’ontpasdesolutions.Nousallonsmaintenant´elargirlecorpsdesre´elsRen introduisant le corpsCdes nombres complexes. DansCatqu´eneuionalg´ebriquedeedrge´njoousurpso`sdeten solutions(encomptantlesordredemultiplicit´e).L’´etudedeCletituesm´eog´enalpeirteteen entrigonome´trie.Deplus,C.sereitns´erieseudierlesle`o´uterdnetaruitrncaleouf ` De´finition2.1.Le corpsCest l’ensembleR2tion´eraesopunidm,cilpoitansodeeemmemtdtiul suivantes : pour tout(x, y)∈R2et(x0y0)∈R2: (x, y) + (x0y0) = (x+x0, y+y0),(x, y)∙(x0, y0) = (xx0−yy0, xy0+x0y0). One´crittre`ssouventx+iyg´ebonaltati(nodecalpala`)euqire(x, yqieu.)e´moe´rtngioatot(n) Ilconvientdesimplifierlanotationalg´ebriquedesnombrescomplexes(x,0) et (0, y:)rctinoe´ alorsx+i0 =xet 0 +iy=iysixetysont de lles. ´ En particulier, on peut voir tout nombre s ree re´ellexcomme un nombre complexe :R⊂C. On voit que siz=x+iyetz0=x+iy0sont deux nombres complexes, alors z+z0= (x+x0) +i(y+y0), zz0= (xx0−yy0) +i(xy0+x0y). En particulier 0 = 0 +i0. En outre,i += 0ise1tatonalteroconbmexpmellg´eionauedubriq (0,),1peapel´amieanigeriut´ni. La formule ci-dessus montre quei2= (0 +i1)(0 +i1) =−1. Lethe´or`emeci-dessousexprimelefaitqueCest uncorps commutatif. The´ore`me2.1.emt,eleeldasociativative,assesues-dutmmcostdemmosediceinfie´L’option´era un´el´ementneutre,quiest0 = 0 +i0oT.e´tuentl´emzdeCadsnsoe´onppdeueoss`pCet´no,−z. Siz=x+iy, alors−z=−x+i(−y)(´tonsuaeis−x−iy). L’ope´rationdeproduitd´efinieci-dessusestcommutative,associative,distributiveparrapport a`lasomme,elleadmetun´el´ementneutrequiest1 = 1 +i0t´el´emen.tuoTzdeC∗=C\{0} e e poss`dune´le´mentinverse,note´z−1ouz1. Siz=x+iyavecxetyr´eeolsrsla, 1x−y =2+iy2. z x2+y x2+ 2.2Partiereelleetimaginaire.Conjugue´.Moduleetargument ´ D´efinition2.2.Pour tout complexez=x+iy, avecxetyel´eons,efid´t:nir i) Leeugu´conjdezot´¯ ¯−iy. , n ez, parz=x ii) Laellee´ertiarpdez, parRez=xet sapartie imaginaire, parImz=y. iii) Lemoduledez, par|z|=px2+y2sacelsnalucitrap`uroieD(.z=x∈R, on retrouve lad´efinitionusuelledelavaleurabsoluedex). iv) L’argumentdez(lorsquez6= 0´e)n,toArg(z)ntieorleng’aeltdnee´mirpxe(e´.Ils’agi ~ radians) entre le demi-axe des abscisses positives et le vecteurOPu`o,P= (x, y)est le pointquirepr´esentezdansR2. Remarque 2.1.Le module|z|exprime la distance entrez(vu come point deR2) et l’origine. Siz∈C, avecz6= 0, siθdetdnemugra’lengise´z, on a : z=|z|(cosθ+isinθedqueoitnirogon´mteir)(notatz). Bien entendu, siθest un argument dez, alorsθ+ 2kπ(aveck∈Z) l’est aussi. L’argumentθ d’un nombre complexez=x+iy6= 0 est tel que cosθ=px2x+y2,sinθ=px2y+y2.
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