Maths I Analyse Transition du Secondaire a l'Universite
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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Maths I Analyse : Transition du Secondaire a l'Universite 1 Objectifs de l'UE Les objectifs vises sont les suivants. – Competences de nature methodologique et/ou conceptuelle : – Comprendre les proprietes fondamentales de l'ensemble des reels, du point de vue algebrique, et surtout analytique (axiome fondamental de l'analyse : prin- cipe de la borne sup). – Savoir faire des demonstrations avec des epsilon () : suite convergente ; limite, continuite, derivabilite d'une fonction, critere de Cauchy pour les suites et les fonctions. – Notions a consolider : fonction, equation differentielle. – Notions a assimiler : relation d'ordre, suite extraite, continuite. – Competences techniques : – Manipulation d'inegalites dans R, c'est-a-dire majorer et minorer, avec des valeurs absolues, des parties entieres, des puissances entieres, des racines n- iemes. – Calculs de limites (elementaires) de suites et de fonctions. – Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions de R dans R. – Calcul des solutions des equations differentielles lineaires d'ordre 1, et d'ordre 2 coefficients 2 Prerequis de Terminale pour aborder l'UE 2.1 Connaissance des fonctions 2.1.1 Limites – Fonctions usuelles ( exp, ln, fonctions trigonometriques, fonctions puissances en- tieres, fonctions racines n-iemes, polynomes du second degre, .
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- cours - matière potentielle : l' ue math
- cours - matière : physique
- cours magistral
Maths I Analyse : Transition du Secondaire a l'Universite 1 Objectifs de l'UE Les objectifs vises sont les suivants. – Competences de nature methodologique et/ou conceptuelle : – Comprendre les proprietes fondamentales de l'ensemble des reels, du point de vue algebrique, et surtout analytique (axiome fondamental de l'analyse : prin- cipe de la borne sup). – Savoir faire des demonstrations avec des epsilon () : suite convergente ; limite, continuite, derivabilite d'une fonction, critere de Cauchy pour les suites et les fonctions. – Notions a consolider : fonction, equation differentielle. – Notions a assimiler : relation d'ordre, suite extraite, continuite. – Competences techniques : – Manipulation d'inegalites dans R, c'est-a-dire majorer et minorer, avec des valeurs absolues, des parties entieres, des puissances entieres, des racines n- iemes. – Calculs de limites (elementaires) de suites et de fonctions. – Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions de R dans R. – Calcul des solutions des equations differentielles lineaires d'ordre 1, et d'ordre 2 coefficients 2 Prerequis de Terminale pour aborder l'UE 2.1 Connaissance des fonctions 2.1.1 Limites – Fonctions usuelles ( exp, ln, fonctions trigonometriques, fonctions puissances en- tieres, fonctions racines n-iemes, polynomes du second degre, .
- axiome fondamental de l'analyse
- idee des equations differentielles
- limite de la somme
- demons- trations rigoureuses en mathematiques
- consequence de la propriete de la borne superieure
- propriete vraie
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Maths I Analyse : TransitionduSecondairea`l’Universite´
Objectifs de l’UE
Lesobjectifsvise´ssontlessuivants. –Compe´tencesdenatureme´thodologiqueet/ouconceptuelle: –Comprendrelespropri´et´esfondamentalesdel’ensembledesre´els,dupointde vuealge´brique,etsurtoutanalytique(axiomefondamentaldel’analyse:prin-cipe de la borne sup). –Savoirfairedesde´monstrationsavecdesepsilon(; limite,) : suite convergente continuite´,de´rivabilite´d’unefonction,crit`eredeCauchypourlessuitesetles fonctions. –Notionsa`consolider:fonction,e´quationdiff´erentielle. –Notionsa`assimiler:relationd’ordre,suiteextraite,continuit´e. –Comp´etencestechniques: –Manipulationd’ine´galite´sdansRsedcevarimea`d-se-t,’crer,minoeretajor valeursabsolues,despartiesenti`eres,despuissancesenti`eres,desracinesn-i`emes. –Calculsdelimites(´el´ementaires)desuitesetdefonctions. – Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions deRdansR. –Calculdessolutionsdese´quationsdiffe´rentielleslin´eairesd’ordre1,etd’ordre 2 coefficients
Pre´requisdeTerminalepouraborderl’UE
2.1 Connaissance des fonctions 2.1.1 Limites –Fonctionsusuelles(exp,ln,fonctionstrigonome´triques,fonctionspuissancesen-tie`res,fonctionsracinesn-ie`mes,polynoˆmesduseconddegre´,...). –Th´eor`eme”desgendarmes”pourlesfonctions. –Croissancecompar´eedesfonctionsexponentielles,puissancesentie`res,etloga-rithme. A l’infini,l’exponentielle ”l’emporte” sur toute puissance dexet les puis-sances dexle logarithme.”l’emportent” sur
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2.1.2Continuite´etvariations –Plutˆotqu’uned´efinition,uneintuitionu’deofenitcn.nodelacontinuit´ –Th´eor`emedesvaleursinterm´ediaires:soientfunefonctionde´finieetcontinuesur un intervalleIetaetbsnaeude´rxdsleIeluoP.rtoutr´ekcompris entre f(a) et f(b),ilexisteunre´elccompris entreaetbtel quef(c) =k. –Existenced’unesolutiondel’e´quationdutypef(x) =k. –Ze´rosd’unefonction. –Sensdevariationd’unefonction(monotonie,croissance,de´croissance). –De´finitiond’unmaximum,d’unminimum:surundessin.
2.1.3D´erivation –De´rive´esdesfonctionsusuelles(exp,ln,fonctionstrigonome´triques,fonctions puissancesentie`res,fonctionsracinesn-ie`mes,polynoˆmesduseconddegr´e,...). –Onnede´finitpasvraimentcequ’estunefonctiond´erivable.Maisonfaitlelien: de´rivable⇒continue. –Lienentrelesignedelade´rive´eetlesensdevariationdelafonction. –De´finitiondumaximumouduminimumd’unefonctionde´rivable.
2.1.4Primitivesetcalculint´egral –Inte´graleetvaleurmoyenned’unefonctiondesignequelconque.Pourunefonction R b f continue positive sur [a, b], introduction de la notationf(x)dxcomme aire a sous la courbe. –Proprie´t´esdel’inte´grale:line´arite´,positivit´e,ordre,relationdeChasles. –In´egalite´delamoyenne. –D´efinitiond’uneprimitived’unefonctioncontinue:sifestcontinuesurunin-R x tervalleI, et siaest un point deI, la fonctionFtelle queF(x) =f(t)dtest a l’unique primitive defsurIs’annulant ena. –Primitivesdesfonctionsusuelles(exp,ln,fonctionstrigonom´etriques,fonctions puissancesenti`eres,fonctionsracinesn-ie`mes,polynoˆmesduseconddegre´,...). –Inte´grationparparties.
2.2Comp´etencestechniquesa`avoirsurlesfonctions –alluredelacourbeeRrpe´estnre’lnlai´eeve.nu’dnofeoitcma`n – Calculer la limite d’une fonction en un point, calculer la limite de la somme, du produit, du quotient, de la composition de 2 fonctions. –Calculerlad´erive´edelasomme,duproduit,duquotient,delacompositionde2 fonctions. – Comparer deux fonctions : manipulation du signe≤. –Calculsd’airesdedomainesde´limite´sparlacourberepre´sentatived’unefonction sur un intervalle.
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– Reconnaˆıtre des primitives de compositions de fonctions, calculer des primitives parinte´grationparpartie.
2.3Connaissancedessuitesetr´ecurrence 2.3.1D´efinitiond’unesuiteetproprie´t´es –D´efinitionexplicite –De´finitionimplicite –De´finitionparr´ecurrence –Suitesusuelles(arithme´tiques,ge´om´etriques,...) – limite de suites –th´eor`eme”desgendarmes”. –De´finitiond’unesuitemonotone,majore´e,minor´ee,born´ee. –Th´eor`emedeconvergencedessuitescroissantesmajore´es(resp.d´ecroissantesmi-nore´es). –Suitesadjacentesetthe´ore`medessuitesadjacentes: Th´eor`eme.( des suites adjacentes : ) Soient (an)n∈Net (bn)n∈Ndeux suites r´eellesadjacentes(o`u(an)n∈Nest croissante et (bn)n∈N.Alonte)issaecroesdr´st cesdeuxsuitessontconvergentes,etontlameˆmelimitel. De plus, pour tout entier natureln,an≤l≤bn. Ceth´eore`meestuneconse´quencedelaedt´´erineorabelreeius´pporprue quel’onaborderadansl’UE:toutensembleder´eelsnonvideetmajor´eposs`ede unebornesup´erieure.Cethe´ore`meestdoncessentiellementlie´auxproprie´t´es intrinsq`uesdel’ensembleRrserlee´sedbmonroidla,eltsrpmiourquoiis.C’estp avantd’approfondirl’analyser´eelledeformaliserrigoureusementtouteslespro-prie´te´sdeR. Remarque: .ome´dtiafnetuepnor´ethceuerqrentO`emeest´equivaletna`al proprie´te´delabornesupe´rieure.Etcelapourraˆetreutiledanscertainsprobl`emes d’analyse.
2.3.2Raisonnementparre´currence –“De´finition”d’unraisonnementparre´currence:initialisation+he´re´dite´. Leraisonnementparre´currenceestunoutilpuissantquipermetdefairedesde´mons-trationsrigoureusesenmathe´matiques.Ilseradoncrappele´a`l’universite´,autantdans lesmodulesd’alge`brequeceuxd’analyse,etutilis´etr`essouvent.
2.4Compe´tencestechniquesa`avoirsurlessuites – Calculer les premiers termes d’une suite,grapnteremenhiquetmrltseseprrese´e d’une suite. – Calculer la limite d’une suite, la limite de la somme, du produit, du quotient de suites.
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