Mathématiques Poursuite d'études
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Mathématiques Poursuite d'études Exponentielles/Logarithme décimal Page 1 Fonctions exponentielles/Logarithme décimal Activité 1 : Taux d'intérêt. 1/Un capital de 6000€ est placé à la banque le 31 décembre. Le 1er janvier de chaque année, les intérêts composés sont virés sur le compte et la valeur acquise au bout de 8 années est de 7779,54€. Quel est le taux d'intérêt annuel de cette banque ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2/Soit la fonction ?(?) = ????? ?? définie sur l'intervalle [?;?,?] a-Etablir le tableau de variations de ? à partir de la représentation graphique de la calculatrice. b-Compléter le tableau de valeurs et tracer la courbe ? de ? (arrondir les valeurs à l'unité). ? 0 1,1 ?(?) ? 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 ?(?) 3/a-Tracer la droite (?) d'équation ? = ????.
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Mathématiques Poursuite d'études Exponentielles/Logarithme décimal Page 1 Fonctions exponentielles/Logarithme décimal Activité 1 : Taux d'intérêt. 1/Un capital de 6000€ est placé à la banque le 31 décembre. Le 1er janvier de chaque année, les intérêts composés sont virés sur le compte et la valeur acquise au bout de 8 années est de 7779,54€. Quel est le taux d'intérêt annuel de cette banque ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2/Soit la fonction ?(?) = ????? ?? définie sur l'intervalle [?;?,?] a-Etablir le tableau de variations de ? à partir de la représentation graphique de la calculatrice. b-Compléter le tableau de valeurs et tracer la courbe ? de ? (arrondir les valeurs à l'unité). ? 0 1,1 ?(?) ? 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 ?(?) 3/a-Tracer la droite (?) d'équation ? = ????.
- droit sur l'axe des ordonnées
- coordonnées du point d'intersection de ?
- ?la touche de la calculatrice correspondante
- format de l'axe
- courbe ? de ?
- calculatrice
- ??? ?
- touche
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Fonctions exponentielles/Logarithme décimal Activité 1 :Taux d’intérêt. er 1/Un capital de6000€janvier de chaque année, lesest placé à la banque le 31 décembre. Le 1 intérêts composés sont virés sur le compte et la valeur acquise au bout de8années est de7779,54€.Quel est le taux d’intérêt annuel de cette banque ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ૡ 2/Soit la fonctionࢌ(࢞) =×࢞définie sur l’intervalle[;,]aEtablir le tableau de variations de݂à partir de la représentation graphique de la ࢞1,1 0 calculatrice. (࢞)bCompléter le tableau de valeurs et tracer la courbe∁deࢌ(arrondir les valeurs à l’unité). ࢞,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,1 1,0 (࢞)y 8000 78003/aTracer la droite(ࡰ)7600 d’équation࢟=ૠૠૠૢ.. bDéterminer graphiquement 7400 lescoordonnées du point d’intersectionde∁et de(ܦ). 7200 ……………………………………………… ……………………………………………… 7000……………………………………………… 6800 6600cD’après l’étude précédente, indiquer le taux d’intérêt annuel de cette banque 6400 ……………………………………………… ……………………………………………… 6200……………………………………………… x 600011,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,1 1,01
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Activité 2 : Représenter des distances. Un géographe veut représenter des distances très différentes sur un même graphique : Hauteur d’une maison :5 m; longueur d’un terrain de football :100 m; dimension de la ville de Paris :10 km; dimension de la France :1000 km; diamètre de la Terre :12756 km. Peutil aussi faire figurer la distance TerreLune de380 000 km? 1/aConvertir les deux premières distances en km……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. bOuvrir le tableur Saisir les données fixes suivantes et en ligne 2 les distances correspondantesconverties en km.
Sélectionner les cellules de A1 à F2. Insérer un graphique de type Nuage de points. cIndiquer pourquoi ce graphique n’est pas exploitable. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2/aRéaliser un clic droit sur l’axe des ordonnées du graphique et sélectionner Format de l’axe. Cocher l’option Echelle logarithmique. Indiquer pourquoi le géographe préfère utiliser ce graphique. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
400000 1000000 350000 100000 300000 10000 1000 250000 100 200000 10 150000 1 100000 0 2 4 6 8 0,1 50000 0,01 0 0 2 4 6 80,001 cPeuton placer la distance TerreLune ?................................................................................................. 3/aIndiquer comment est construite la graduation « logarithmique ». ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. bRechercher sur votre calculatrice la touche correspondante.
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Activité 3 : Elevage de lapins. Un fermier souhaite investir dans l’élevage de lapins. Il commence son élevage avec10lapins (5 femelles et5mâles). Il lit dans une revue scientifique que le nombre de lapins peut être multiplié par 10chaque année. Il souhaite connaître l’évolution du nombre de lapins sachant qu’il ne pourra pas dépasser un élevage de800lapins. On note࢛le nombre de lapins présents dans l’élevage. ݑ ݑ ݑ 1/aCalculer le nombre de lapins présents après 1 an (ଵ), 2 ans (ଶ), 3 ans (ଷ). ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. bIndiquer la nature, le premier terme et la raison de cette suite numérique. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. cPeutil envisager de réaliser un élevage dans ces conditions ? Justifier votre réponse. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. dCompléter le tableau suivant à l’aide de la calculatrice. (Créer une table de valeur manuelle). Nombre de lapins࢛10 1 ܔܗ(࢛)ܔܗ =fPeuton calculerlog(−10)etlog(−100)? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2/Soit݂la fonction définie sur[,;]parࢌ(࢞) =ܔܗ ࢞. apourquoiݔdoitil être positif ?.............................................................................................................. bEtablir le sens de variation de la fonction݂à ݔ1000 0,5 partir de sa représentation graphique. (calculatrice)(ݔ)cCompléter le tableau de valeur (arrondi à 0,1) : ࢞30 50 70 805 15 0,100 (࢞)3/Préciser alors le nombre d’années, de mois et de jours au bout duquel l’élevage aura atteint 800 lapins. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
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Cours 1/Fonction exponentielle de base܉On appelle fonction exponentielle de baseܽtoute fonction définie pour toutݔpar : ࢇ>࢞ ࢌ(࢞) =ࢇ
Cette fonction est représentée par la touche puissance de la calculatrice Le sens de variation dépend de la valeur deࢇ: ௫ Siࢇ> 1, la fonctionܽest croissante. ௫ Si<ܽ< 1, la fonctionܽest décroissante.
࢞
࢞
࢞
Propriétés(a > 0): ࢟ ࢇ=ࢋ࢚ࢇ=ࢇ࢞ ࢞࢟ (ࢇ) =ࢇ࢞ା࢟ ࢞࢟ ࢇ=ࢇ×ࢇ࢞ ܔܗ(ࢇ) =࢞ࢍ(ࢇ)࢞ ࢇ ࢞ି࢟ ࢇ=࢟ ࢇ 2/Logarithme décimal. La fonction logarithme décimal est définie et croissante sur l’intervalle]; +∞[et : ࢞>ࢌ(࢞) =ܔܗ ࢞
La touche de la calculatrice correspondante est la touche
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Propriétés : ܔܗ =;ܔܗ =Quels que soient les nombres strictementOn en déduit que : positifsܽetܾ, ܔܗ=( )−ࢍ࢈࢈ ܔܗ(ࢇ×࢈) =ܔܗ ࢇ+ܔܗ ࢈ ܔܗ(ࢇ) =×ܔܗ ࢇࢇ ቁܔܗ ቀ=ܔܗ ࢇ − ܔܗ ࢈࢈ Comparaison : ࢍࢇ=ࢍ࢈équivaut à :ࢇ=࢈ࢍࢇ<ܔܗ ࢈équivaut à :ࢇ<ܾRésoudre une équation de typeܔܗ ࢞=ࢇ. Exemple : résolution delogݔ= 12୪୭ ௫ଵଶ ୪୭௫ On passe aux puissances de 10↔1010 =pas oublier que (ne10 =ݔ) ଵଶ ݔ= 10࢞ Résoudre une équation de type=ࢇ. ௫ Exemple : résolution de4,1 =13,4௫ ௫ On passe aux logarithmes↔13,4= loglog 4,1 (nepas oublier que=log 4,1ݔlog 4,1) ݔlog 4,113,4= log୪୭ ଵଷ,ସ Et doncݔ=≈1,8393୪୭ ସ,ଵ
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