Licence MASS 3eme annee
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Français
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Publié par
Date de parution
01 novembre 2006
Nombre de lectures
45
Langue
Français
Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Theorie des Probabilites Licence MASS, 3eme annee Universite du Sud Toulon–Var Nils Berglund Version de Novembre 2006
Voir
Theorie des Probabilites Licence MASS, 3eme annee Universite du Sud Toulon–Var Nils Berglund Version de Novembre 2006
- probabilite de l'evenement elementaire
- chaınes de markov ergodiques
- probabilites differentes aux differentes faces
- theorie des probabilites
- processus ponctuel de poisson
- introduction aux processus stochastiques
- sensible des conditions initiales
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01 novembre 2006
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45
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Français
Th´eorie
des
Probabilite´s
LicenceMASS,3`emeanne´e
Universite´duSudToulon–Var
Nils
Version
de
Berglund
Novembre
2006
Tabledesmati`eres
1Probabilite´sdiscre`tes1 1.1Espaceprobabilise´discret............................1 1.2Probabilite´sconditionnelles,ind´ependance...................4 1.3 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ´ 1.4 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5Th´eor`emedelalimitecentrale.........................16 1.6 Loi de Poisson et “loi des petits nombres” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7Fonctionge´ne´ratrice...............................24
2Probabilit´escontinues27 2.1Variablesale´atoiresr´eellesa`densite´......................27 2.2Vecteursale´atoires`adensit´e...........................33 2.3Mesuresdeprobabilite´etespacesprobabilis´es.................39
3 Introduction aux processus stochastiques 45 3.1Lamarchealeatoireunidimensionnellesyme´trique..............45 ´ 3.2 Le processus ponctuel de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3LeschaıˆnesdeMarkov..............................55 3.4 Chaˆınes de Markov absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5ChaıˆnesdeMarkovergodiques.........................62
-1
Chapitre 1
Probabilite´sdiscr`etes
Lathe´oriedesprobabilit´essert`amod´eliserdessituationsdontnotreconnaissanceest ´ imparfaite.Lemanqued’informationsestalorsremplace´parunecomposantealeatoire. Parexemple,lorsdujetd’und´e,lesloisdeNewtondevraientenprincipenouspermet-tredecalculerlatrajectoireexactedud´e,connaissantsapositionetsavitesseinitiales, etd’end´eduiresurquellefaceilvatomber.Enpratique,nonseulementcecalculest extreˆmementdifficile,maisleresultatde´pendaussidemanie`retre`ssensibledesconditions ´ initiales.Ilestalorsplussimpled’admettrequelede´peuttombersurchacunedesessix facesaveclamˆemeorabieb´itlpde 1/eut,ilprtqimye´ninoeus–faartpestsenemit6e´delis( ˆetrepr´efe´rabled’associerdesprobabilite´sdiff´erentesauxdiff´erentesfaces). Enth´eoriedesprobabilit´es,onsupposedonn´esunensembledere´sultatspossiblesde l’“expe´rience”conside´r´ee,etleursprobabilite´srespectives.Oncherchealorsaend´eduireles ` probabilit´d’´e´tspluscomplique´s,oulesr´esultatsd’expe´riencespluscomplexes, es venemen commeparexemplelelancerd’ungrandnombreded´es.
1.1Espaceprobabilis´ediscret Unespaceprobabilise´discretestcaract´eris´epartroisingr´edients: 1. UnuniversΩ: c’est l’ensemble dese´enemtn´ventairess´el´emes,ecneire´pxe’ledes´poup icidiscret(finioude´nombrable). 2. Un ensemble d’ev´e´ntsneme(ou´vnee´stocmenes´eosmp)Fnemene´vt´eutto:A∈ Fest un sous-ensemble de Ω (A⊂Ω). 3. Unetilie´buriontiprdeabobidtsp: Ω→[0,1], satisfaisant Xp(ω) = 1.(1.1.1) ω∈Ω Pour toutω∈Ω,p(ωael´eelpptase)baroperil´ementanement´ele´’vee´ibil´tdeω. Exemple 1.1.1. 1.Pourunjetded´e(nonpipe´),onpourraprendrel’universΩ={1,2,3,4,5,6}, et comme distributionp(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω (distributionuniforme). Un exemple d’´eve´nementcompose´estA={ω:ωest pair}={2,4,6}. 2.Pourunjetdedeuxpi`ecesdemonnaie,pouvantindiquerPile(P)ouFace(F),on peut prendre Ω ={PP,PF,FP,FF}, avecp(ω) = 1/4 pour toutω∈Ω. 1
2
´ ` CHAPITRE 1. PROBABILITES DISCRETES
3. Si l’on tire successivement trois boules d’un sac contenant exactement trois boules num´erote´esde1`a3,onpourraprendreΩ={(1,2,3),(1,3,2), . . . ,(3,2,1)}, de nou-veau avec la distribution uniformep(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω. Remarque 1.1.2.Le choix de l’univers Ω n’est pas unique, en fait on peut choisir n’importequelensemblecontenantaumoinsautantd’e´le´mentsqu’ilyad’´eve´nements consid´ere´scommedistinguablesparl’expe´rience.Parexemple,danslecasdedeuxpie`ces, onauraitpuconsid´ererqu’onnesaitpasdistinguerlespi`ecesl’unedel’autre,etchoisir Ω ={PP,PF,FF}eC.fett,siod´PFigesl’nev´´esee´bmone“tnemeuepxeldsesnei`ecpastsont dumeˆmecˆot´e”.Onprendraalorsp(PP) =p(FF) = 1/4, etp(PF) = 1/2. De´finition1.1.3(Espaceprobabilis´ediscret).Un(Ωetcrisesp´sdeibilorabcape, p) estdonne´parunensemblede´nombrableΩet une applicationp: Ω→[0,1]telle que Xp(ω) = 1.(1.1.2) ω∈Ω Remarque 1.1.4.scanenfiti.Dni’uniquelΩsoiversopssulaltie´bilivo’asnouxcsepansN cas,lasomme(1.1.2)doitˆetreconsid´er´ecommelasommed’unese´rienume´rique.Comme touslestermesdelas´eriesontnon-ne´gatifs,lasommeestind´ependantedeleurordre(ce quin’estpasn´ecessairementlecaspourdess´eries`atermespositifsetne´gatifs). Exemple 1.1.5.ecejepi`teunnjetitnotbne`’oasuuqOne.ilrpieemprdusrolatuepO choisir Ω =N∗,o`uω∈,eΩd´esie´orudejnglenemulouebtnoortluqsdeimeliprtneirpel avecp(ω) = 2−ωtigi’alsexund’ciI.brabenomisinlemadeu’melpsr´dinev.infibanOnei ∞ Xp(ω) =X21i= 1.(1.1.3) ω∈Ωi=1 D´efinition1.1.6(´Ev´enements).L’espace des´stnemene´ve(oue´e´smpostscoemenv´en) d’unespaceprobabilis´ediscret(Ω, p)est l’ensemble des parties deΩ: F=P(Ω) ={A:A⊂Ω}.(1.1.4) Laporabiblit´etnem’´ev´enedelAest P(A) =Xp(ω). ω∈A L’ensemble vide∅est l’elbissimpoment´ene´evetP(∅) = 0apn.ioitfin´erd L’univers entierΩest l’nai´vee´enemtnectr. Lesope´rationslogiquese´le´mentairessurles´ev´enementscorrespondent`adesop´erations dethe´oriedesensembles,selonletableausuivant: ´ Ope´rationlogiqueEquivalentensembliste AetB A∩B AouB A∪B nonA Ac= Ω\A A,BincompatiblesA∩B=∅ AimpliqueB A⊂B
(1.1.5)
3
´ 1.1. ESPACE PROBABILISE DISCRET Proposition 1.1.7. 1. Pour toutA∈ F,06P(A)61. 2.P(Ω) = 1etP(∅) = 0. 3.Pourtoutensembled’´ev´enements{Ai}i∈N, on a P[Ai6XP(Ai).(1.1.6) i∈Ni∈N 4.Silese´ve´nements{Ai}i∈Npmtabiel,s’cse-t`a-direosdent`auxuxdecoinAi∩Aj=∅ pouri6=j, alors P[Ai=XP(Ai).(1.1.7) i∈Ni∈N 5. SiA⊂B, alorsP(B) =P(A) +P(B\A). 6. SiA⊂B, alorsP(A)6P(B). 7. On aP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B). De´monstration.En exercice. Remarque 1.1.8. 1. L’ensembleF=Pedettairel´eout´elocqeeumenepm´ledtneme´´tpoiralrpΩ(a)F, touteintersectionettouter´euniond’e´l´ementsdeFsont encore dansF. On dit queF forme unetribuouσ-alg`br e e. 2. (Ω, prpboapecnusee)ts’listnemeluesteitsrescdi´eisilabionapplicatP:F →[0,1] d´efiniepar(1.1.5)satisfaitlesdeuxaxiomes de Kolmogorov: (K1)P(Ω) = 1. (K2) SiIunstebmelneesmorb´dneetable{Ai}i∈Ifenulima’del´ve´ementsenuxdeest `adeuxincompatibles,alors P[Ai=XP(Ai).(1.1.8) i∈I i∈I En effet, la Proposition 1.1.7 montre quePsatisfait (K1) et (K2). Inversement, soit P:F →[0,1] une application satisfaisant (K1) et (K2). Alors le fait que Ω = Ω∪ ∅ impliqueP(∅itfino’lie´dn)S.0=pparp(ω) =P({ω}), il est clair que (1.1.5) est satisfaite, et en particulier 1 =P(Ω) =Pω∈Ωp(ω). (Ω, p) est donc bien un espace probabilis´ediscret. Onpeutdonc´egalementd´efinirunespaceprobabilise´parladonne´ed’untriplet (Ω,F,Po,u)`P:F →[0,1] satisfait les axiomes de Kolmogorov (K1) et (K2). Cette d´efinitional’avantaged’eˆtrege´n´eralisable`adesΩnondenombrables. ´ Exemple 1.1.9. 1.Pourlelancerdedeuxde´s´equilibr´es,onpeutprendreΩ={(1,1),(1,2), . . . ,(6,6)}, dont le cardinal est|Ω|= 36, etp(ω) = 1/36 pour toutω∈Ω. L’e´v´enement“lasommedespointsvaut8”estA={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}, etsaprobabilit´eestP(A) = 5/36. 2. On jettenroΩssnla=onnaedemrenoie.Pepuneci`isfo{(ω1, . . . , ωn) :ωi∈ {P,F}∀i}, qui est de cardinal 2n. L’´ev´enementAk“on obtientkfois pile” est de cardinal |Ak|=Ckn≡nk=k!(nn−!k)!,(1.1.9)
