Les calculatrices sont autorisées

SESSION 2010 MPM1002


EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
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MATHEMATIQUES 1


Durée : 4 heures
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2f R R
4y
f(x;y) = si (x;y) = (0;0) et f(0;0) = 0:
2 2x +y
f (0;0)
f (0;0)
E F f E F
A E f(A) F
f F
E
?,surdeuxsasemblerc?op2.ies)et.devrsontad'?noncponctionoursuivrlaeesaapplicationcerompqueositionren?esexpliquantl'olesrrtiableaisons2destioninitiativesompactequ'ilSoitanorm?s,?t?deamen?une?quepramen?endr.e.es*la*des*premi?resLeserrcandidatsd?ter-pteuvlaenestteutiliserEXERlaRappcalculatricenplesourpartiefaireespacelnorm?.eursetcalculsvetpdonnertindirectemendanstclacompacter?pd?mononseepsurunelaL'imagecopie.*Ce?sujetalculatricestrecompqueos?fonctiondeadmetdeuxd?rivexercicespartiellesetend'uneurprobl?mequetousnind?pminera.endanD?monts.reEXERqueCICEf1uneOndi?renconsid?reenla?trfonction.estCICEde1.andidatelercd?dansiun(pard?niesuitepard'une:cSid'undaction.v?ctorielr2.laluideeutoncisionespacescectorielslaet?uneeconlueetquicisione?Siprestilpartied'unedecompacte,atrern?cessairemen?runercompacteestsignalerpartiecompactede1/4.cr?ciproLparNBlapartie?de6est-elleclart?,tlapartie?dee?ortancandidatimpeande:gr*plus*laesaautorisattacheres1.cD?monLtsint
t7! ]0;]
tZ sint
I = t
t0
1X
k(u ) I = ( 1) u :k kk0
k=0

n n
n! n:n!n0 n1
+1X
kR = ( 1) u jRjn k n
k=n+1
2
2n I 10

f R 2
f(t) = 1 t2 ]0;[ f(0) =f() = 0:
n t
n 1X4 sin[(2k+1)t]
S (t) = :n
2k+1
k=0
(S )n n1
f R R
h i
;
2
f S10h i
; f
2
S20
S tn
n t
n 1X
T (t) = sin[(2k+1)t]:n
k=0
oualeurPuisapprocalculatrice,cdeh?eutilis?e,dular?ella.unedOnoseun?lapcourbOntervpr?s.tionPremi?renpartiehe:estPh?nom?nenatureldeD?monGibbstOntervconsid?relalaetfonctionfonction.graphique,d?nieestsurlaalledeimpairesoin,etcourbdesepv?rioinf?rieuresdedetervourl'inetvcon?riansuitetgraphique,:l'aidesursurt?grable0insinestefonctiontionadepdeour(b)lunquesurJustierte.(a)d?terminer,1.eetnpr?liminaireetartiecourbPfonctionGIBBSQueDEsurM?NEdesPH?NOlorsque:approOBL?ME0PRsup3.vOnCettepel?eoseibbs.poseourentoutnenr?el,tierergenaturelt(b)quenonSurnm?meuluniquemenet?ded'uner?el,traceraleurl'invalleladetfonctionpr?cisanusencourbre,deifoncdui?l'alluredlaEne(a).laquestionSla.tsurutilisanautreentracer,l'inRalleappd?croissaneleretleajorercourbD?mondetrer,fo?cl'aivdel'allured'unelas?rieedelaFecma.2/4colstate-t-onalessuiteesdefonctionsfonctionssuite,vd?vreloppcemendetparenaleurss?rie?rieuresconparvaleurserge?sim-particularit?plemenapptph?nom?nevGers5.lapfonctionpensuitesurtierti?renon.ulLalaconquevetergencevest-elle?rianune2.vuniforme(a)surtrerenla?4.ourier,que8n2N 8t2RrZ
2sin (nt)
T (t) = :n
sint
a b a<b
[a;b] 0;
2
M n
t2 [a;b] T (t)Mn
(w )n
n t2 [a;b] jf(t) S (t)jw :n n
sin[(2k+1)t] =T (t) T (t)k+1 k
(n;p) t2 [a;b]jS (t) S (t)jn+p n
f

0S (t) t2 0; nn 2
0 S (t) 0;n 2
x2 0; n
2Z Zx 2 sin(2nt) 1 sinu
S (x) = t S ( ) = un n n u sint n sin0 0 2n
(S ( ))n n n1
22 0; ; sin
2
0 1
@ Asup jS (x) f(x)jn
x2 0;] [2
n
f R C 2
n2Z Z 21 intc (f) = f(t)e t:n
2 0
c (f)n
R C 2
f R n2Z
c (f) = 0 fn
f R
C 2
f R C 2
R g
+1X
ipt ipt8t2R; g(t) =c (f)+ (c (f)e +c (f)e ):0 p p
p=1
g R n2Z
c (g) c (f)n n
alorsdconul,ouriernlenondenatureletiereenqueetestouretpulque,nomtreraD?monde(b)plus.,surr?sultatededfonctionl(c).v(c)pD?mon(b)ttiretoutrquequetellela0suifonctionusur.toutanndequifonctionaleursivtinetiteetp9.plusdelard?terminerlaetuniform?mencononctionvtierergenetqu'ilpr?cisetelsrosaquelimite.cetteOnsuitepDansourratrerutilisermorceauxsansetd?monstration?rio:.po?ouresttouttinour,ppCalculert(a)con6.une?estfonctionulle.lavdefonctionouriertFpardedanss?riep.r7.reD?montintdansreproquedonladesuitevlasurtuneconcernan:d?duirenonentoutontelle-onstutxisteeustiepetQuer?els.consid?re,(a)touteetquestionulsuenpnontiernaturels,tiersecd'en,couplefonctiontoutuourparnedecondansvetergeppasdevsersDans0.casDeuxi?melapartier:deD?monstrationconduueth?or?meedejustierconsivourergencevnormaleergeanPvourr?elsunesuitefonctionerptrouvconlatinnueCeparreste-t-ilmorceauxalabledela,eutdansseulemenrconetuedemorceauxpp?riol'ondedejore?riomaque,?onSoitnoteunepconouruettoutD?mon?deher?herci:dec.ourratps?rieonF,conqueergeertobserv,parerstfcommen?antoutEnet,ntoutnatureletenulournquenontenatureladctierun8.eRapprelerJle.th?or?mequedeetPbresardeuxsenv5.,alJus(avrecl'applicationlesestcotinesurcienpuistsourenentoutdeourlapexprimer,quev)soin,pqueour,uneenfonctiondepuisD?moncon(a)tint3/4ef =g
1f R C 2
n t
int intu (f)(t) =c (f)e +c (f)e :n n n
0c (f ) c (f)n n
t
1 1 2 20 0ju (f)(t)j + (jc (f )j +jc (f )j ):n n n2n 2
P
u (f) Rn
f
question,D?monLe.ers(b)vD?monergetrerth?or?mequeduireplaourtretoutrelation(b)?l'?nonc?tdeppfonctiontrersoin,?riodedeuneetcondetclassepr?ciserCfonction.parerr?el,l'onqued?mon.demorceaux.senonour10.aOnecpqueoses?rieetfonctionspestourfonctionetenenvtiernormalemenulsurconettinvuequelleDans(d)denoncdanslenaturelque,vienD?terminerdentrer.cetteph?nom?ne?Gibbsdeeut-ilD?monprotprecetter,(a)Finune(c)4/4r?el,