GÉOMÉTRIE

–

G OM TRIE
Le problŁme de la reprØsentation plane de l espace relŁve du patrimoine culturel de l humanitØ, et s’est pos Ø partout, dans le domaine graphique.
Une question mŒme si ce n est pas la se ule s est sans au cun doute posØe dŁs qu Homo sapiens a commencØ dessiner : celle de la
communication, c est- -dire de la recherche de modes de repr Øsentation susceptibles de permettre au spectateur d identifier ce qu a voulu
reprØsenter l auteur de l uvre ; cette question est mŒme de venue primordiale dans le cas des dessins « techniques ».
Il est important pour les ØlŁves, appelØs vivre dans un environnement de plus en plus dominØ par l image, de savoir dØcoder et pourquoi pas
encoder ?- les reprØsentations planes de l espace. Qui pl us est, certains domaines professionnels comme l architecture , la sc Ønographie ou
l archØologie font grand usage de reprØs entations variØes de l espace : vues, axonomØtries, perspectives Il s agit donc ici d e donner aux
ØlŁves une culture de base relativement aux modes de reprØsentation usuels de l espace, en Øtudiant plus particuliŁrement ceux qui sont fondØs
1sur la notion de projection sur un plan ; en effet, la perspective dite « cavaliŁre » -qu il est prØfØrable d appeler « parallŁ le » - est couramment
utilisØe comme dessin technique en architecture et dans l industr ie, tandis que la perspective « point de fuite », Øgalement trŁs utilisØe en
architecture, a servi de fondement tous le s arts picturaux pendant plusieurs siŁcles.
Comme nous l avons dit, l un des buts possibles assignØs aux reprØsentations de l espace est de pe rmettre au spectateur de se reprØsenter
2mentalement la situation spatiale en jeu. Dans le cas du dessin on cherche, pour y parvenir, d une part produire un dessin qui « ressemble »
la vision qu on peut (pourrait) en avoir ha bituellement, et d autre part prØserver sur ce dessin certaines propriØtØs de la situation, de fa on
faciliter le passage de la situation sa reprØsentation et vice versa, c est- -dire l Øcriture et la lecture du dessin. Ces deux soucis qu on pourrait
appeler « visuel » et « gØomØtrique » s ont le plus souvent antagonistes, et on est ainsi amenØ, par nØcessitØ, faire des ch oix destinØs les
concilier « au mieux », selon le but recherchØ.
3Prenons l exemple du dessin d une pyramide rØguliŁre base carrØe « squelette » :



Le dessin de gauche est une reprØsentation trŁs frØquente chez les jeunes enfants (cycle 3 de l Øcole ØlØmentaire et dØbut du c ollŁge) : elle
conserve beaucoup de propriØtØs gØomØtriques de l objet (base carrØ e, faces isocŁles, symØtries, etc.) mais ne se donne pas directement lire
comme un dessin de pyramide (qui serait vue de dessus) : on y voit plut t un objet plan (carrØ avec ses diagonales). A l invers e, le dessin de
4droite, reprØsentation de type « photographique », est per u comme le dessin d un objet de l espace, ma is peu de propriØtØs ØlØmentaires y sont
conservØes, part l alignement. Entre ce s deux cas extrŒmes, on peut trouver des reprØsentations trŁs variØes qui, tout en donnant une
impression de relief, prØserveront certaines propriØtØs de l objet. La perspective parallŁle (ØtudiØe en classe de premiŁre) et la perspective
centrale (ØtudiØe en classe terminale) sont deux systŁmes de reprØsentation permettant de conjuguer, d une fa on jugØe optimale eu Øgard aux
objectifs visØs par la reprØsentation, les deux soucis indiquØs plus haut.
Pour aborder l Øtude de ces systŁmes de re prØsentation et aider les ØlŁves en comprendre les principes, le programme a choisi de se baser,
d une maniŁre en quelque sorte mØta phorique, sur l Øtude du phØnomŁne de l ombre, qui fait partie de notre quotidien et peut donc Œtre observØe
loisir : ombre « au soleil » en classe de premiŁre, ombre « au flambeau » en classe terminale. Les ØlØments sur lesquels porte cette mØtaphore
et les limites de celle-ci sont prØcisØs ; le passage de l ombre la perspective s’opŁre ensuite gr ce la notion (gØomØtriq ue) de projection sur
5un plan. La dØmarche suivie dans le programme peut donc Œtre schØmatisØe sous la forme suivante :
OMBRE VISION



PROJECTION
SUR UN PLAN

PERSPECTIVE

1 Pour des raisons qui seront prØcisØes plus loin.
2 Il peut, selon le cas, s agir d un objet ou d un ensemble organisØ d objets.
3 C est- -dire rØduite ses arŒtes.
4
Du moins par quelqu un qui a dØj rencontrØ un tel objet.
5
Si le mot « vision » convient la perspective linØaire, oø on peut supposer un observateur borgne placØ au point de vue, i l n est pas rØellement adaptØ la
perspective cavaliŁre, car il faudrait imaginer l observateur l infini ; c est donc par abus de langage ou « passage la li mite » que nous utilisons le mot
« vision » dans les deux cas.
SØrie L mathØmatiques projet de document d accompagnement gØomØtrie page 1
Direction de l enseignement scolair e bureau du contenu des enseignements –

Ces divers ØlØments se situent dans trois « mondes » diffØrents : les phØnomŁnes de l ombre et de la vision se rattachent au monde physique,
tandis que la perspective est une reprØsentation de l espace phys ique dessinØe sur un support plan ; quant la projection, ell e appartient une
thØorie gØomØtrique qui modØlise la fois l ombre et la perspective.
Cette entrØe par l ombre permet de donner du sens la notion de reprØsentation en pers pective. Comme il s agit simplement d ob server et de
noter quelques propriØtØs de ce phØnomŁne physique, il n est pas nØcessaire d y consacrer trop de temps en classe : ce travail peut Œtre entrepris
tout moment par les ØlŁves, sous forme de travail personnel, et la synthŁse, rØalisØe en classe l aide d un « cube squelett e », servant de point
de dØpart l Øtude gØomØtrique de la pe rspective. On trouvera en Annexe des idØes de matØriels utilisables cette fin.

CLASSE DE PREMI¨RE : LA PERSPECTIVE PARALL¨LE
La perspective parallŁle propose un systŁme de reprØsentation comparable un phØ nomŁne physique banal ; sa relative simplicitØ d utilisation,
comme l intØrŒt des propriØtØs conservØes, f ont que ce systŁme constitue un vØritable dessin technique, et non seulement une simple aide
visuelle, ce qui explique son utilisation quasi exclusive dans l enseignement de la gØomØtrie de l espace. RØaliser un dessin c orrect consiste en
fait rØsoudre un problŁme de gØ omØtrie, permettant en outre ce qui n est pas si frØquent un auto-contr le relativement aisØ sur la production
elle-mŒme.
Notons cependant qu il ne s agit pas de faire aux ØlŁves un cours de perspective parallŁle, mais d observer que l ombre au soleil d un objet
« squelette » est une image de cet objet (plus ou moins dØformØe) analogue celles qui sont utilisØes en gØomØtrie de l espace, et que certaines
propriØtØs de l objet (alignement , parallØlisme, etc.) se retrouvent Øgalement sur son ombre. Sur la base de cette observation, on se propose
ensuite d Øtudier une modØlisation gØomØtrique de ce phØnomŁne, dans le but de la dØfinir comme perspective parallŁle et, par contrecoup, de
comprendre pourquoi les propriØtØs de l ombre au soleil et de la perspective parallŁle sont ce qu el les sont. Ce qui permettra d utiliser le
dessin en perspective parallŁle comme un dessin technique, et non plus comme un simple support visuel.
N.B. Ce qui suit n est pas un « cours type ». Il s agit seulement d un exposØ raisonnØ, destination de s enseignants, des idØes directrices
figurant dans le programme de la classe de premiŁre ; bien entendu, le professeur est tout fait libre d adopter une prØsentat ion et une
progression diffØrentes, dŁs lors qu elles sont compatibles avec le programme.
1. L ombre au soleil (synthŁse des observat ions personnelles faites par les ØlŁves)
DØmarche. On commence par observer l ombre au soleil d un cube squelette sur un plan, dans le but de conjecturer quelques propriØtØs des
ombres portØes ; pour les justifier, on rØalise des dessins dans des plans qui seront prØcisØs, dessins qui conduisent un mod Łle gØomØtrique et
permettent, le cas ØchØant, d effectuer des dØmonstrations de gØomØtrie plane.
Puis on opŁre le passage de l ombre au dessin et on poursuit l Øtud e des propriØtØs, que l on applique la rØsolution de probl Łmes de dessi