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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DEDROIT ETDES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMENANNEE 2006-2007 1ère session 3ème semestre Licence Sciences Economiques 2ème année Matière : Statistiques et probabilités – Eléments de correction Durée : 2H Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisées. Exercice I (25 min, 4 points) 1) Il s'agit d'un tirage sans remise de 4 produits dans un ensemble de 8 produits dont une proportion (inconnue) p est défectueuse. La variable X suit donc une loi hypergéométrique*(8, 4, p). a) La proportion de produits défectueux est donc p = 2/8 = 1/4 = 0.25. La livraison sera acceptée si X = 0. La probabilité est donc P(X = 0) = (2 0 ) ? (6 4 ) (8 4 ) = 3 14 ≈ 0.2143 b) La proportion de produits défectueux est à présent p = 1/8 = 0.125. La livraison sera refusée si X > 0. La probabilité est donc P(X > 0) = 1? P(X = 0) = 1? (1 0 ) ? (7 4 ) (8 4 ) = 1? 1 2 = 0.5 2) On note A l'événement « la livraison contient 1 produit défectueux », B l'événement « la livraison contient 2 produits défectueux » et C l'événement « la livraison ne contient pas de produit défectueux ».

coefficient de corrélation linéaire

client

eléments de correction durée

x? ≤

etdes sciences economiques

produit défectueux

proportion de produits défectueux

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Ère 1 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 20062007

Ème Licence Sciences Economiques 2annÉe

MatiÈre : Statistiques et probabilitÉs – ElÉments de correctionDurÉe : 2H

Ème 3 semestre

Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisÉes. Exercice I(25 min, 4 points) 1)Il s’agit d’un tirage sans remise de 4 produits dans un ensemble de 8 produits dont une proportion (inconnue) pest dÉfectueuse. La variableXsuit donc une loi hypergÉomÉtrique*(8, 4,p). a)La proportion de produits dÉfectueux est doncp=2/8=1/4=0.25. La livraison sera acceptÉe siX=0. La probabilitÉ est donc    2 6 ×3 0 4 P(X=0)= = ≈0.2143 8 14 4 b)La proportion de produits dÉfectueux est À prÉsentp=1/8=0.125. La livraison sera refusÉe siX>0. La probabilitÉ est donc    1 7 ×1 0 4 P(X>0)=1−P(X=0)=1− =1− =0.5 8 2 4 2)On noteAl’ÉvÉnement « la livraison contient 1 produit dÉfectueux »,Bl’ÉvÉnement « la livraison contient 2 produits dÉfectueux » etCl’ÉvÉnement « la livraison ne contient pas de produit dÉfectueux ». On aP(A)=0.2, P(B)=0.1 etP(C)=0.7. D’aprÈs la question prÉcÉdente, on a P(X>0|A)=0.5P(X>0|B)=0.7857P(X>0|C)=0 Une livraison est refusÉe siX>0. En utilisant la formule des probabilitÉs totales, P(X>0)=P(X>0|A)P(A)+P(X>0|B)P(B)+P(X>0|C)P(C) ≈0.5×0.2+0.7857×0.1+0≈0.1786

Exercice II(20 min, 3 points) 1)La fonction reprÉsentÉe est positive et continue surR. De plus, l’intÉgrale Z Z +∞2 fX(t) dt=fX(t) dt=1 −∞0 car elle correspond À l’aire comprise entre le graphe defXet l’axe desx, soit l’aire d’un carrÉ de cotÉ de longueur 1. 2)Graphiquement on voit que a)P(X≤0)=0 (car la densitÉ est nulle pourx≤0). b)P(X≥2)=0 (car la densitÉ est nulle pourx≥2). c)P(X≥1)=0.5 (par symÉtrie de la densitÉ par rapport À 1). d)P(0≤X≤2)=1 (d’aprÈs a et b). 3)La densitÉ est symÉtrique par rapport Àx=1. Donc, E(X)=1. 4)La variableXprend ses valeurs dans l’intervalle [0, 2]. L’Écart entreXet E(X)=1 est donc au maximum de 1 (=max(|0−1|,|2−1|)). Donc l’Écarttype (« Écart moyen »)σX≤1.

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