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Français

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DEDROIT ETDES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMENANNEE 2004-2005 1ère session 4ème semestre Licence Sciences Economiques 2ème année Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction Durée : 1H30 Problème Partie I 1) Soit X la variable définie sur la population des clients du restaurant prenant la valeur 1 si le client prend un menu à 16 ou 23 Euros et 0 sinon. La variable X suit une loi de Bernoulli @(1, p). L'enquête correspond à un n = 91 échantillon de X, (X1, . . . , X91). 2) La fréquence empirique F = K/n où K = X1 + · · · + Xn est un estimateur sans biais et convergent de p. Une estimation de p est donc f = k/n = (23+ 32)/91 ≈ 60.44 %. 3) K ?? B(n, p) ≈ 1(np, √ npq). D'où F ?? ? 1(p, √ pq n ). On en déduit P(?1.96 < F? < 1.96) = 0.95 H? P ( f ? 1.96 √ pq n < p < f + 1.96 √ pq n ) = 0.95 En estimant √ pq n par √ f (1? f ) n , on trouve l'intervalle de confiance : [ f ? 1.96 √ f (1? f ) n , f + 1.96 √ f (1

indé- pendance des variables

tableau dans le tableau

conclusion précédente

signification du test

fréquence empirique

hypothèse nulle

variables représentant l'addition des clients

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re 1 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 20042005

me Licence Sciences Economiques 2anne

me 4 semestre

Matire : Statistiques et probabilits – Èlments de correctionDure : 1H30

ProblÈme

Partie I 1)SoitXla variable dÉﬁnie sur la population des clients du restaurant prenant la valeur 1 si le client prend un menu À 16 ou 23 Euros et 0 sinon. La variableXsuit une loi de Bernoulli @(1,p). L’enqute correspond À unn=91 Échantillon deX, (X1, . . . ,X91). 2)La frÉquence empiriqueF=K/noÙK=X1+ ∙∙ ∙+Xnest un estimateur sans biais et convergent dep. Une estimation depest doncf=k/n=(23+32)/91≈60.44 %. q √pq 3)K,→B(n,p)≈1(n p,n pq). D’oÙF,→1(p, ).On en dÉduit n ∼  ! r r pq pq ∗ P(−1.96<F<1.96)=0.95H⇒P f−1.96<p<f+1.96=0.95 n n q q pq f(1−f) En estimantpar ,on trouve l’intervalle de conﬁance : n n " rr # f(1−f)f(1−f) f−1.96 ,f+1.96 n n L’application numÉrique donne [50.35, 70.45]. ∗ 4)On souhaite testerH0:p=65 % contreH1:p<65 %. La variable de dÉcision estT=F.  ∗ On prendraH1siF(et doncF) prend des valeurs trop petites. D’oÙα=5 %=P(T< λp= ∗ 0.65). On trouveλ= −1.64. La rÉgion critique est donc ]−∞,−1.64[. Commet=f≈ −0.92 n’est pas dans la rÉgion critique, on ne peut pas rejeterH0:pn’est pas signiﬁcativement infÉrieur À 65 %. Partie II 1)Le tableauTableau crois menu * jourreprÉsente les effectifs conjoints de l’Échantillon des deux variables. Par exemple, sur les 91 repas de l’Échantillon, 10 correspondent À des menus À 16 Euros pris en dÉbut de semaine. 2)Le V de Cramer mesure le lien entre les deux variables considÉrÉes. Ici,V=0.326∈[0, 1] est manifestement non nul. Il rÉvÈle donc un lien non nÉgligeable entre les deux variables. Ce

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