FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2006-2007 1ère session 4ème semestre Licence Sciences Economiques 2ème année Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I 1) Soit la population étudiée. OnnoteX la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'individu est satisfait et 0 sinon. Par dénition, X suit une loi de BernoulliB.1; p/ où p représente la proportion d'individus satisfaits dans la population. Un sondage de n D 1000 personnes correspond à un 1000-échantillon de X , soit .X1; : : : ; Xn/. La sommeK D X1 C CXn suit une loi binomialeB.n; p/. Elle représente le nombre (aléatoire) de personnes satisfaites sur les 1000 interrogées. Comme n est susamment grand, on peut approcher la loi binomiale par une loi normaleN .np; p npq/. La statistiqueF D K=n, représentant le proportion (aléatoire) d'individus satisfaits parmi les 1000 interrogés, suit alors approximativement une loi normaleN .p; p pq=n/. 2) La sortie SAS en annexe donne la valeur de l'observation de F : f D 0:5200. L'ASE (Asymptotic Standard Error) correspond à l'erreur standard approchée, c'est-à-dire, à l'estimation de l'écart-type de F :ASE D p f .
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FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2006-2007 1ère session 4ème semestre Licence Sciences Economiques 2ème année Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I 1) Soit la population étudiée. OnnoteX la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'individu est satisfait et 0 sinon. Par dénition, X suit une loi de BernoulliB.1; p/ où p représente la proportion d'individus satisfaits dans la population. Un sondage de n D 1000 personnes correspond à un 1000-échantillon de X , soit .X1; : : : ; Xn/. La sommeK D X1 C CXn suit une loi binomialeB.n; p/. Elle représente le nombre (aléatoire) de personnes satisfaites sur les 1000 interrogées. Comme n est susamment grand, on peut approcher la loi binomiale par une loi normaleN .np; p npq/. La statistiqueF D K=n, représentant le proportion (aléatoire) d'individus satisfaits parmi les 1000 interrogés, suit alors approximativement une loi normaleN .p; p pq=n/. 2) La sortie SAS en annexe donne la valeur de l'observation de F : f D 0:5200. L'ASE (Asymptotic Standard Error) correspond à l'erreur standard approchée, c'est-à-dire, à l'estimation de l'écart-type de F :ASE D p f .
- test sur la moyenne
- moyenne empirique
- loi normalen
- test bilatéral
- raison de la diérence de taille des échantillons
- bilatérale associé au test bilatéral
- degré de liberté de la loi de student
- estimation pour le groupe des cadres
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FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
EXAMEN ANNEE 2006-2007
me Licence Sciences Economiques 2anne
Matire : Statistiques et probabilits – Èlments de correctionDure : 2H
me 4 semestre
Exercice I 1)Soitla population ÉtudiÉe. On noteXla variable alÉatoire prenant la valeur1si l’individu est satisfait et0sinon. Par dÉnition,Xsuit une loi de BernoulliB.1; p/oÙpreprÉsente la proportion d’individus satisfaits dans la population. Un sondage denD1000personnes correspond À un1000-Échantillon de X, soit.X1; : : : ; Xn/. La sommeKDX1C CXnsuit une loi binomialeB.n; p/. Elle reprÉsente le nombre (alÉatoire) de personnes satisfaites sur les1000interrogÉes. Commenest susamment grand, on p peut approcher la loi binomiale par une loi normaleN.np; npq/. La statistiqueFDK=n, reprÉsentant le proportion (alÉatoire) d’individus satisfaits parmi les 1000 interrogÉs, suit alors approximativement une p loi normaleN.p; pq=n/. 2)La sortie SAS en annexe donne la valeur de l’observation deF:fD0:5200. L’ASE (Asymptotic Standard Error) correspond À l’erreur standard approchÉe, c’est-À-dire, À l’estimation de l’Écart-type de p F:ASEDf .1f /=n% pour. La sortie SAS donne l’intervalle de conance À 95p:Œ0:489I0:5510. Pour obtenir, l’intervalle de conance À 90% on utilise la formule " rr # f .1.1f fFf /p fz1˛=2IfCz1˛=2carp,!N.0; 1/ n n pq=n
Pour1˛D0:90, on trouvez0:95D1:645% :. D’oÙ l’intervalle de conance À 90Œ0:4940I0:5460. 3)On souhaite donc testerH0Wp0:5contreH1Wp > 0:5. Ce test est Équivalent ÀH0WpD0:5 contreH1Wp > 0:5. La sortie SAS permet d’obtenir directement le test. On utilise la probabilitÉ critique (ou signication) unilatÉrale (One-Sided) car l’hypothÈse alternative est unilatÉrale. On a sigD0:1030qui est supÉrieur au risque (de premiÈre espÈce) habituellement utilisÉ (5 ou 10 %). On conclut donc qu’on ne peut pas rejeter l’hypothÈseH0. L’enqute ne permet pas de conclure que plus de la moitiÉ de la population est satisfaite.
ProblÈme Partie I(Taille de l’Échantillon) Soit.X1; : : : ; Xn/un Échantillon deX. n 1P 1)Un estimateur deestXDXi. C’est un estimateur sans biais (E.X /D) et convergent n iD1 (X!). 2)Un intervalle de conance pourÀ 95 % est donnÉ par xz0:975p; xCz0:975pavect0:975D1:96 n n 3)On a donc jxj z0:975p n
