FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2008-2009 1ère session 1er semestre Licence Économie 1ère année Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I Le domaine de dé!nition de f est Df D R!. De plus, f .x/ D 1C x2 x D x C 1 x 1) Les dérivées première et seconde de f .x/ sont f 0.x/ D 1 ! 1 x2 f 00.x/ D 2 x3 2) La condition nécessaire d'optimalité est f 0.x/ D 0 ” 1 D 1 x2 ” x2 D 1 ” x D !1 ou x D C1 On a donc deux points critiques x1 D !1 et x2 D C1. D'après les conditions susantes d'op- timalité, on trouve f 00.x1/ D !2 < 0 donc f admet un maximum local en x1 D !1 et f 00.x2/ D 2 > 0 donc f admet un minimum local en x2 D C1. 3) x -1 +1 0 0 0 — —+ + +? -? f '(x) f (x) -? +? -2 +2 +1 -1 -2 +2 4) La fonction étant discontinue (non continue en 0), on étudie ses extrema sur les intervalles R!C etR!
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FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2008-2009 1ère session 1er semestre Licence Économie 1ère année Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I Le domaine de dé!nition de f est Df D R!. De plus, f .x/ D 1C x2 x D x C 1 x 1) Les dérivées première et seconde de f .x/ sont f 0.x/ D 1 ! 1 x2 f 00.x/ D 2 x3 2) La condition nécessaire d'optimalité est f 0.x/ D 0 ” 1 D 1 x2 ” x2 D 1 ” x D !1 ou x D C1 On a donc deux points critiques x1 D !1 et x2 D C1. D'après les conditions susantes d'op- timalité, on trouve f 00.x1/ D !2 < 0 donc f admet un maximum local en x1 D !1 et f 00.x2/ D 2 > 0 donc f admet un minimum local en x2 D C1. 3) x -1 +1 0 0 0 — —+ + +? -? f '(x) f (x) -? +? -2 +2 +1 -1 -2 +2 4) La fonction étant discontinue (non continue en 0), on étudie ses extrema sur les intervalles R!C etR!
- faculte de droit et des sciences economiques
- point critique
- critiques x1
- maximum global
- sante de maximalité globale
ère 1 session
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
EXAMEN ANNEE 2008-2009
ère Licence Économie 1année
Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correctionDurée : 2H
er 1 semestre
Exercice I ! Le domaine de dé!nition defestDfDR. De plus, 2 1Cx 1 f .x/D DxC x x 1)Les dérivées première et seconde def .x/sont 1 2 0 00 f .x/D1!f .x/D 2 3 x x 2)La condition nécessaire d’optimalité est 1 02 f .x/D0”1D ”xD1”xD!1ouxD C1 2 x On a donc deux points critiquesx1D!1etx2D C1. D’après les conditions su"santes d’op-00 timalité, on trouvef .x1/D!2 < 0doncfadmet un maximum local enx1D!1et 00 f .x2/D2 > 0doncfadmet un minimum local enx2D C1. 3)
-1 0+1 x f '(x)+0 0+ -2+!+! f(x)
-!-!+2
+2 -1 +1 -2
4)La fonction étant discontinue (non continue en0), on étudie ses extrema sur les intervalles ! !! RetR. SurR, elle admet un minimum global – on peut remarquer qu’elle est convexe. Sur C"C ! R, elle admet un maximum global – on peut remarquer qu’elle est concave. "
