FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 1ère session 2ème semestre Licence Économie 1ère année Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (6 points, 40 min) On considère le problème de maximisation suivant : .P / ( maximiser f .x; y/ D 2x y2 sous les contraintes x > 0 et x y 6 1. 1) f .x; y/ est la somme de deux fonctions d'une seule variable (x 7! 2x et y 7! y2) concaves. Elle est donc concave. 2) Le lagrangien associé à .P / est L.x; y; 1; 2/ D 2x y2 C 1.x/C 2.x y 1/ Les CNO sont 8 < : L0x D 0 D 2 1 C 2 .1/ L0y D 0 D 2y 2 .2/ 1.x/ D 0 .3/ 2.x y 1/ D 0 .4/ 1 6 0 et 2 6 0 .5/ 3) Pour résoudre le système précédent, on étudie les 4 cas possibles suivants : a) 1 D 0; 2 D 0, b) 1 D 0; 2 < 0, c) 1 < 0;2 D 0, d) 1 < 0;2 < 0.
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FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 1ère session 2ème semestre Licence Économie 1ère année Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (6 points, 40 min) On considère le problème de maximisation suivant : .P / ( maximiser f .x; y/ D 2x y2 sous les contraintes x > 0 et x y 6 1. 1) f .x; y/ est la somme de deux fonctions d'une seule variable (x 7! 2x et y 7! y2) concaves. Elle est donc concave. 2) Le lagrangien associé à .P / est L.x; y; 1; 2/ D 2x y2 C 1.x/C 2.x y 1/ Les CNO sont 8 < : L0x D 0 D 2 1 C 2 .1/ L0y D 0 D 2y 2 .2/ 1.x/ D 0 .3/ 2.x y 1/ D 0 .4/ 1 6 0 et 2 6 0 .5/ 3) Pour résoudre le système précédent, on étudie les 4 cas possibles suivants : a) 1 D 0; 2 D 0, b) 1 D 0; 2 < 0, c) 1 < 0;2 D 0, d) 1 < 0;2 < 0.
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- point candidat
- eléments de correction durée
- développement limité au voisinage
- formule de taylor-young
re 1 session
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES
EXAMEN ANNEE 2009-2010
re Licence Èconomie 1anne
Matire : Mathmatiques appliques – Èlments de correctionDure : 2H
me 2 semestre
Exercice I(6 points, 40 min) On considÈre le problÈme de maximisation suivant : ( 2 maximiserf .x; y/D2xy .P / sous les contraintesx>0etxy61. 2 1)f .x; y/est la somme de deux fonctions d’une seule variable (x7!2xety7! y) concaves. Elle est donc concave. 2)Le lagrangien associÉ À.P /est 2 L.x; y; 1; 2/D2xyC1.x/C2.xy1/ Les CNO sont 8 0 0D LxD21C2.1/ 0 ˆLD0D 2y2.2/ <y 1.x/D0 .3/ 2.xy1/D0 .4/ ˆ : 160et260 .5/ 3)Pour rÉsoudre le systÈme prÉcÉdent, on Étudie les 4 cas possibles suivants : a)1D0; 2D0, b)1D0; 2< 0, c)1< 0;2D0, d)1< 0;2< 0. a)1D0; 2D0: l’Équation.1/devient0D2ce qui est impos-sible ! b)1D0; 2< 0: l’Équation.1/devient2C2D0d’oÙ2D .2; 1/ 2. De l’Équation.2/on tireyD1. L’Équation.4/donnexD2. Les Équations.3/et.5/sont bien sur vÉrifiÉes. On obtient donc le point candidat.x; y/D.2; 1/avec.1; 2/D.0;2/. c)1< 0;2D0: l’Équation.1/devient21D0. D’oÙ1D 2–0. Ce cas est donc impossible. d)1< 0;2< 0: des Équations.3/et.4/on tirexD0et yD 1. L’Équation.2/donne alors2D2–0. Ce cas est donc aussi impossible. En conclusion, on a un unique point candidat.x; y/D.2; 1/avec.1; 2/D.0;2/. Comme la fonctionfest concave et les contraintes convexes (elles sont affines), les CNO sont suffisantes. Le problÈme.P /admet donc un maximum global en.x; y/D.2; 1/. Exercice II(4 points, 20 min) 2 2 x0x 1)On sait que.e/D2xD’oÙe . Z 1 1 212e1 x x IDxe dxDeD 2 2 0 0 2 22 3 x2 x2 1 x02 On remarque quexeDx .xe/Dx .e/. On effectue donc une intÉgration par partie en posantuDxet 2 2 0x vDxOn obtiente .
