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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2008-2009 1ère session 2ème semestre Licence Économie 1ère année Matière : Mathématiques appliquées Durée : 2H – Éléments de correction Exercice I (40 min, 5 points) 1) Les fonctions (d'une variable) 1 x2=2 et y sont concaves (de dérivées secondes négatives ou nulles) donc f est concave comme somme de fonctions concaves. 2) Le lagrangien associé à .P / est L.x; y; 1; 2/ D 1 12x 2 C y C 1.y/ C 2.x C y 1/. Les CNO de Kuhn-Tucker sont 0 D L0x D x C 2 (1) 0 D L0y D 1 1 C 2 (2) 1y D 0 (3) 2.x C y 1/ D 0 (4) 1 6 0 (5) 2 6 0 (6) 3) On étudie successivement les cas .1 D 0; 2 D 0/, .1 D 0; 2 < 0/, .1 < 0;2 D 0/, .1 < 0;2 < 0/. a) 1 D 0; 2 D 0 : l'équation .2/ donne 1 D 0, ce qui est impossible ! b) 1 D 0; 2 < 0 : l'équation .

cno de kuhn-tucker

faculte de droit et des sciences economiques

seconde intégrale

développement limité

dérivées secondes négatives

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re 1 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2008-2009

re Licence Èconomie 1anne

Matire : Mathmatiques appliquesDure : 2H – Èlments de correction

me 2 semestre

Exercice I(40 min, 5 points) 2 1)Les fonctions (d’une variable)1x =2etysont concaves (de dÉrivÉes secondes nÉgatives ou nulles) doncfest concave comme somme de fonctions concaves. 1 2 2)Le lagrangien associÉ À.P /estL.x; y; 1; 2/D1xCyC1.y/C2.xCy1/. Les 2 CNO de Kuhn-Tucker sont

0 0DLD xC2 x 0 0DLyD11C2 1yD0 2.xCy1/D0 160 260

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

3)On Étudie successivement les cas.1D0; 2D0/,.1D0; 2< 0/,.1< 0;2D0/, .1< 0;2< 0/. a)1D0; 2D0: l’Équation.2/donne1D0, ce qui est impossible ! b)1D0; 2< 0: l’Équation.2/donne2D 1 < 0. En reportant dans.1/, on trouvexD 1. L’Équation.4/donneyD2. On obtient donc le point candidat.1; 2/. c)1< 0;2D0: l’Équation.2/donne1D1Š0. Ce cas est donc impossible. d)1< 0;2< 0: l’Équation.3/donneyD0et la.4/donnexD1. L’Équation.1/donne alors 2D1Š0. Ce cas n’est donc pas possible. On obtient donc qu’un seul point candidat.x0; y0/D.1; 2/. Comme la fonctionfest concave et les contraintes anes, le problÈme.P /admet un maximum global en ce point.

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