Extrait Terminale S Mathématiques
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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
COURS DE TS MATHS - 1 1ère SERIE 1ère SERIE Suites numériques LECON 1 : raisonnement par récurrence 1. Raisonnement par récurrence : principe Axiome : Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Soit n0 un entier naturel. Pour démontrer pour tout entier naturel n≥n0que P(n) est vraie, il suffit de procéder en deux étapes : 1 - vérifier que P(n0) est vraie 2 - démontrer que si pour un entier naturel n≥n0 P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie. L'hypothèse faite en 2, « P(n) est vraie pour un entier naturel n≥n0 » s'appelle l'hypothèse de récurrence. L'étape 1 permet d'amorcer le processus, en établissant un rang à partir duquel la proposition P est valide. L'étape 2 consiste à établir qu'à partir de ce rang initial, la propriété se transmet de proche en proche, d'un rang au rang suivant. On fait souvent une analogie avec un escalier – dont toutes les marches seraient similaires. Savoir gravir un escalier c'est savoir accéder à la première marche (étape 1) puis savoir passer de n'importe quelle marche à la suivante (étape 2). 2. Exemple de démonstration par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la relation donnant la somme des carrées des n premiers nombres entiers en fonction de n, pour tout n entier naturel non nul : 6 )12)(1( 1 2 ++
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COURS DE TS MATHS - 1 1ère SERIE 1ère SERIE Suites numériques LECON 1 : raisonnement par récurrence 1. Raisonnement par récurrence : principe Axiome : Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Soit n0 un entier naturel. Pour démontrer pour tout entier naturel n≥n0que P(n) est vraie, il suffit de procéder en deux étapes : 1 - vérifier que P(n0) est vraie 2 - démontrer que si pour un entier naturel n≥n0 P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie. L'hypothèse faite en 2, « P(n) est vraie pour un entier naturel n≥n0 » s'appelle l'hypothèse de récurrence. L'étape 1 permet d'amorcer le processus, en établissant un rang à partir duquel la proposition P est valide. L'étape 2 consiste à établir qu'à partir de ce rang initial, la propriété se transmet de proche en proche, d'un rang au rang suivant. On fait souvent une analogie avec un escalier – dont toutes les marches seraient similaires. Savoir gravir un escalier c'est savoir accéder à la première marche (étape 1) puis savoir passer de n'importe quelle marche à la suivante (étape 2). 2. Exemple de démonstration par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la relation donnant la somme des carrées des n premiers nombres entiers en fonction de n, pour tout n entier naturel non nul : 6 )12)(1( 1 2 ++
- ?? ?
- naturels supérieurs
- vraie par hypothèse de récurrence
- récurrence
- rang initial
- entier naturel
- naturel
- proche en proche
- proposition supposée
COURS DE TS MATHS- 1 ère 1 SERIE ère 1 SERIE Suites numériques LECON 1 : raisonnement par récurrence 1. Raisonnement par récurrence : principe Axiome : SoitP(n)une proposition qui dépend d'un entier natureln. Soitn0un entier naturel. Pour démontrer pour tout entier naturel n³n0queP(n)est vraie, il suffit de procéder en deux étapes : 1 - vérifier queP(n0)est vraie 2 - démontrer que si pour unentier natureln³n0P(n)est vraie, alorsP(n+1)est vraie. L'hypothèse faite en 2,«P(n)est vraie pour un entier natureln³n0 »s'appellel'hypothèse de récurrence. L'étape 1 permet d'amorcer le processus, en établissant un rang à partir duquel la proposition Pest valide. L'étape 2 consiste à établir qu'à partir de ce rang initial, la propriété se transmet de proche en proche, d'un rang au rang suivant. On fait souvent une analogie avec un escalier – dont toutes les marches seraient similaires. Savoir gravir un escalier c'est savoir accéder à la première marche (étape 1) puis savoir passer de n’importe quelle marche à la suivante (étape 2). 2. Exemple de démonstration par récurrence On souhaite démontrer par récurrence la relation donnant la somme des carrées desnpremiers nombres entiers en fonction den, pour toutnentier naturel non nul : n n(n#1)(2n#1) 2 ∑ p16 p11 n n(n#1)(2n#1) 2 La propositionPà démontrer est la relation elle-même.P(n): «p1» ∑ 6 p11 Le rang initialn01, puisque l’on cherche à démontrer la relation pour tout entier naturel est non nul. On applique les deux étapes du raisonnement par récurrence.
COURS DE TS MATHS- 2 ère 1 SERIE 1) vérifier quePest vraie à partir d’un rangn0. Cela se traduit ici par la vérification deP(1). Pourn= 1 : 1 2 ∑ - le premier membre de l’égalité vautp11p11 1´(1#1)´(2#1) - le second membre vaut :116 Les deux membres de l’égalité sont égaux,P(1)est vérifiée. 2) Montrer que siP(n)est vraie alorsP(n+1)est vraie. P(n+1) s’écrit n#1 21 11 21 1](n1)(n2)(2n3) ( n)(n )( n)## # n#1 2 «∑p1» autrement dit «p1»p11∑ 66 p11 On cherche à démontrer cette relation en s’appuyant surP(n),proposition supposée vraie par hypothèse de récurrence: n n(n#1)(2n#1) 2 ∑ p16 p11 2 On ajoute (n+deux membres de la relation, ce qui revient à ajouter le carré suivant à la1) aux somme des n premiers carrés : n n(n#1)(2n#1) 2 22 ∑ p#(n#1)1 #(n#1)6 p11 n#1 n(n#1)(2n#1) 2 2 soitp1 #(n#1)∑ 6 p11 n(n#1)(2n#1)2n(n1)(2n1) 6(n1)(n1) Or#(n#1)166 (n#1)n(2n#1)#6(n#1)] 16 2 (n#1)(2n#7n#6) 16 (n1)(n2)(2n3) ce qui équivaut à :. 6 n#1 (n#1)(n#2)(2n#3) 2 ∑ On obtient ainsi la relation :p1, qui est la propositionP(n+1)6 p11 On vient d’établir que siP(n)est vraie alorsP(n+1)est vraie. Conclusion : LapropositionP(n)est vraie pourn=1, etpour toutn³1, siP(n) alorsP(n+1)est vraie: lapropriétéP(n)est donc vraie pour toutn³1. Exercices
COURS DE TS MATHS- 3 ère 1 SERIE 1 ) Démontrer par récurrence les propositions suivantes : n n(n#1) a)n1, pour toutnentier naturel non nul ∑ 2 p11 n n(n#1)(2n#1) 2 ∑ b)p1, pour toutnentier naturel non nul 6 p11 3 c)n–n est un multiple de 3 pour toutnentier naturel supérieur ou égal à 2. n d)pouraréel strictement positif, (1+a)³1+na2 ) Soit (unpour tout n appartenant à) définieÀpar : u12 0 u12u#1 n#1n a) montrerpar récurrence que pour tout n entier naturel unest positif b) montrerpar récurrence que pour tout n, un+1>unLECON 2 Suites numériques monotones - Bornes 1. Monotonie 1.1 DéfinitionsSoit(u )une suite. n (u )estcroissantesi, pour tout entier n, u≤u nn n+1 (u )estdécroissantesi, pour tout entier n, u≥u nn n+1 (u )estmonotonesi elle est croissante ou décroissante. n 1.2 Exemples
La suite (un) définie surÀpar un= n est croissante.
La suite (un) définie surÀpar un=%nest décroissante.
COURS DE TS MATHS- 4 ère 1 SERIE 1 La suite (un) définie surÀ\ {0} par un= est n décroissante. n La suite (un) définie surÀpar unn’est pas= (-1) monotone. 1.3 Techniques d’étude Différents moyens sont à notre disposition pour étudier la monotonie d’une suite. On peut : - raisonner par récurrence, comme cela a été présenté précédemment. - comparer directement unet un+1: - enfaisant l’étude du signe de la différence un+1-unu n#1 - encomparant le quotientà 1, si tous les termes sont strictement positifs u n - faire appel à l’étude d’une fonction f(n) sur [0,+∞[, pour les suites de la forme un=f(n). 2. Suite majorée, minorée, bornée 2.1 Définitions Soit (u) une suite. n (u )estmajorées’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, u≤M. n n (u )estminorées’il existe un réel m tel que, pour tout entier n, u≥m. n n (u )estbornéesi elle est majorée et minorée. n Remarque Siune suite est majorée par un réel A, elle l’est également par tout réel supérieur à A. De façon similaire, Si une suite est minorée par un réel B, elle l’est également par tout réel inférieur à B. 2.2 Exemples 1 1) (un) définie surÀ\{0} parunmajorée par 1, et minorée par 0, elle est donc= est n bornée. 2) Lasuite (un) définie surÀpar un= n est minorée par 0, mais n’est pas majorée. 2.3 Techniques d’études Pour démontrer qu’une suite (un) est majorée par M, on peut :
COURS DE TS MATHS- 5 ère 1 SERIE - raisonnerpar récurrence - étudierle signe de un-M Exercices 1) Etudier la monotonie des suites suivantes : a) un=3n8, pour nÎÀ2* b)unpour n= ,ÎÀn 2* c) un, pour n= 3-ÎÀn u1n#sinnÎÀ d)n, pour n u10 0 2) Soit la suite (un) définie parpour nÎÀ. u u#1 n#1n 1#5 a) Montrer que unest majorée par 2 b) Montrer que unest bornée. EXEMPLE D’UN DEVOIR
COURS DE TS MATHS- 6 ère 1 SERIE ème DEVOIR 2Série A ADRESSER A LA CORRECTION Exercice 1 On considère la suitedéfinie par :, et, pour tout . Soit E l'ensemble des suites réelles définies surtelles que, pour tout , Montrer qu'il existe deux suites géométriques de premier terme 1 et de raison non nulle dans E. Soientles raisons obtenues. Montrer qu'il existe un couplede réels tels que pour tout En déduire la limite de la suite. Exercice 2 Soit telleque pour touton ait : Déterminer enfonction deet de. ______________________
