Exercice On désigne par et les points d'affixes respectives et a Faites une figure que vous compléterez tout au long de l'exercice Unité graphique cm b Ecrivez sous forme algébrique Que pouvez vous en déduire pour le triangle IAB c Calculez l'affixe du point image de par l'homothétie de centre A et de rapport d D est le barycentre du système Calculez son affixe e Démontrez que ABCD est un carré Déterminez et construisez l'ensemble des points du plan tels que
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Exercice 1 : 1) On désigne par , et les points d'affixes respectives , et . a) Faites une figure que vous compléterez tout au long de l'exercice (Unité graphique : 1 cm). b) Ecrivez sous forme algébrique . Que pouvez-vous en déduire pour le triangle IAB ? c) Calculez l'affixe du point , image de par l'homothétie de centre A et de rapport 2. d) D est le barycentre du système . Calculez son affixe . e) Démontrez que ABCD est un carré. 2) Déterminez et construisez l'ensemble des points du plan tels que : ! _ _ _! ! _ _! 3) On considère l'ensemble $ des points du plan tels que : ! _ _ _! %&' a) Prouvez que B appartient à $. b) Déterminez et construisez $. Correction : 1) a) b) $()*$($() $+(+$( $($( $($*($,*, -(- 1ère méthode : On obtient donc , ou .
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Exercice 1 : 1) On désigne par , et les points d'affixes respectives , et . a) Faites une figure que vous compléterez tout au long de l'exercice (Unité graphique : 1 cm). b) Ecrivez sous forme algébrique . Que pouvez-vous en déduire pour le triangle IAB ? c) Calculez l'affixe du point , image de par l'homothétie de centre A et de rapport 2. d) D est le barycentre du système . Calculez son affixe . e) Démontrez que ABCD est un carré. 2) Déterminez et construisez l'ensemble des points du plan tels que : ! _ _ _! ! _ _! 3) On considère l'ensemble $ des points du plan tels que : ! _ _ _! %&' a) Prouvez que B appartient à $. b) Déterminez et construisez $. Correction : 1) a) b) $()*$($() $+(+$( $($( $($*($,*, -(- 1ère méthode : On obtient donc , ou .
- rotation de centre et d'angle
- axe des imaginaires purs
- réunion de l'axe
- barycentre
- kj kk
- affixe
Exercice 1 : ŷ ˴ ŵ Ŷ˩ 1) On désigne par˓,˔etles points d’affixes respecti˴ Ŷ˩, et. ves ŷ˴ a) Faites une figure que vous compléterez tout au long de l’exercice (Unité graphique : 1 cm). b) Ecrivez sous forme algébrique . Que pouvez-vous en déduire pour le triangle IAB ? ˴ ˕ c) Calculez l’affixepar l’homothétie de centre A et de rapport 2.du point, image de d) D est le barycentre du système˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵ. Calculez son affixe˴. e) Démontrez que ABCD est un carré. 2) Déterminez et construisez l’ensembledes pointsdu plan tels que : ŵ " " "" " !˓ ˔ ˕! !˓ ˕!Ŷ 3) On considère l’ensemble$des pointsdu plan tels que : " " " !˓ ˔ ˕! Ÿ&Ź a) Prouvez que B appartient à$. b) Déterminez et construisez$. Correction :1) a)
$()*$( $+($( $($*( -( b) ˩ , , $() +$($( $* - ère 1 méthode:/ ( ˴ ˩˴ ˴ ˴ ˴ ˥ ˴ ˴ , On obtient donc˴ , ou 0 ˓est donc l’image de˔par la rotation de centreet d’angle. $ Le triangle IAB est donc rectangle et isocèle en. ème 2 méthode: ˴ ˴ 8 " "" " 1˔ ˓2 1˔˓2 S^Y6 7 S^Y˩ :Ŷ8;˴ ˴ Ŷ ˓ ˴ ˴ << É˩É ŵ˔ ˴ ˴ 0 " " Ainsi,1˔ ˓2 :Ŷ8;et˓ ˔. Le triangle IAB est donc rectangle et isocèle en. $
c)˕est l’image depar l’homothétie de centre˓et de rapport 2, donc : > ˴ Ŷ˴ ˴ Ŷ ˴ ˴ Ŷ˴ ˴ ŵ Ŷ˩ ŷ Ŷ˩ ŵ ź˩ d)˖est le barycentre de˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵ, qui existe carŵ ŵ ŵ ŵ A Ŵ, donc : ŵ C ˴ ŵ C ˴ ŵ C ˴ ˴ Ź Ÿ˩ ŵ ŵ ŵ " " e)Il y a plusieurs façons de faire. En cours, je suis parti en montrant que˓˔ ˖˕, encalculant les affixes de ces deux vecteurs. On en déduit que ABCD est un parallélogramme. Voici une autre méthode pour montrer la même chose : " " Comme˕est l’image depar l’homothétie de centre˓et de rapport 2,˓˕ Ŷ˓;est donc le milieu de :˓˕;. ˖est le barycentre de˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵ, donc également le barycentre de le barycentre de Ŷ ˔ ŵ. Ainsi, pour tout pointdu plan, " "" Ŷ ˔ ˖" "" " En prenant , on obtient :˔ ˖, soit˔ ˖.est le milieu de:˔˖;. Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu ; ABCD est donc un parallélogramme. D’après ce qui précède,˓ ˔, donc˔˖ ˓˕(car˔˖ Ŷ˔et˓˕ Ŷ˓). ABCD est donc un rectangle. De plus, d’après 1) b), les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires ; ABCD est donc un losange. Par conséquent, ABCD est un carré. " " "" "" " ˕! > !˖! !Ŷ!car˖est le barycentre de 2) D > !˓ ˔ ˕! !˓ $ $ ˓ ŵ ˔ ŵ ˕ ŵetest la milieu de:˓˕;. > D ˖ est la médiatrice du segment:˖;. 3) a) Remplaçonspar˔. " " "" " "" !˓ ˔ ˕! !˔˓ ˔˔ ˔˕! !˔˖!, car ABCD est un parallélogramme. " É˴ É ÉŹ Ÿ˩ ŷÉ ÉE Ÿ˩É EŴ ŸŹ Or,!˔˖! ˴& &. Le point˔ appartientbien à l’ensemble$. " " "" > b) D $!˓ ˔ ˕! Ÿ&Ź > !˖! Ÿ&Ź$est le cercle de centre D et de rayonŸ&Ź, autrement dit le cercle de centre D, passant par B.
Exercice 5 : (BAC) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal˛"˯˰Ȏ(unité graphique : 3 cm). On désigne par A le point d’affixe˩. A tout point M du plan, distinct de A, d’affixe˴, on associe le point M’ d’affixe˴Ȋdéfinie par : $ ˴ J ˴ ˩ ˴ 1) Déterminer les points M confondus avec leur image M’. J J 2) On pose˴ ˲ ˩˳et˴ ˲ ˩˳Ȋavec˲,˳,˲Ȋet˳Ȋréels. a) Démontrez que $ $ ˲˲ ˳ Ŷ˳ J ˲ $ $ ˲ ŵ ˳ b) Déduisez-en l’ensembleEdes points M dont l’image M’ est située sur l’axe des imaginaires purs. Dessinez l’ensembleE. Correction :1) M est confondu avec son image M’ ssi˴Ȋ ˴. , J $$ Or ˴˩ ˴ Ŵ ˥ˮ ˴ A ˩ ˴˩ ˴ ˥ˮ ˴ A ˩ > ˴ ˴ ˥ˮ ˴ A ˩ > ˴˴ >˴ ( ˩ J ˴ ˴ > ˴Ŷ˴ ˩ Ŵ ˥ˮ ˴ A ˩ > ˴ Ŵ N˯ ˴ Ŷ ( Les points cherchés sont les points d’affixe 0 et. $ 2) a) $ $$ $$ $ ˴ ˲ ˩˳˲ Ŷ˩˲˳ ˳˲ Ŷ˩˲˳ ˳:˲ ˩ŵ ˳; J ˴ $ $ ˩ ˴˩ ˲ ˩˳˲ ˩ŵ ˳˲ ŵ ˳ $ $$O $$ ˲˲ ˳ Ŷ˲˳ŵ ˳ ˩:Ŷ˲ ˲ ˳ŵ ˳; J ˴ $ $ ˲ ŵ ˳ J J Avec˴ ˩˳Ȋ˲ , on obtient : $ $$ $ ˲˲ ˳ Ŷ˲˳ŵ ˳˲˲ ˳ Ŷ˳ J ˲ $ $$ $ ˲ ŵ ˳˲ ŵ ˳ J J$ $ b) ˳ Ŷ˳ ˥ˮ ˲ ˳ A Ŵ ŵ D ˗ > ˴ŵ > ˲˲˳ A Ŵ Ŵ ˥ˮ ˲D ˩ț ˥ˮ ˴ A ˩ > ˲$ $ D ˗ > ˲ ŴN˯ ˲ ˳ Ŷ˳ Ŵ ˥ˮ ˲ ˳ A Ŵ ŵL’ensemble des pointsd’affixe˴ ˲ ˩˳tels que˲ Ŵest l’axe des imaginaires. $ $$ $$ $ Pour tous réels˲et˳, ŵ ˳ ŵ ŵ Ŵ > ˲ ˳ ŵŶ˳ Ŵ > ˲˳ ˲ . $ $ L’ensemble des pointsd’affixe˴ ˲ ˩˳tels que˲ ˳ Ŷ˳ Ŵest le cercle de centre A et de rayon 1. L’ensemble cherché est donc la réunion de l’axe des imaginaires et du cercle de centre A et de rayon 1, privée du point A.
