EXAMEN ANNEE
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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
EXAMEN ANNEE 2011-2012 Licence Économie 1ère année 1re SESSION 2e SEMESTRE Matière : Mathématiques appliquées Durée : 2H – Éléments de corrections Seules les calculatrices non-programmables et non graphiques sont autorisées. Exercice I (3 points, 15 min) 1) On a f .x/ D 3x D ex n3. D'où f 0.x/ D n 3 ex n3 D n 3 3x . 2) On a e.f; x/ D x f 0.x/ f .x/ D x n 3 3x 3x D x n 3 3) Lorsque x D 1=2, e.f; 1=2/ 0:549 < 1. La fonction est donc inélastique en x D 1=2. La variation relative def est inférieure à celle dex.Par exemple, lorsquex varie de 1 % autour de 1=2, la variation (relative) de f est inférieure à 1 % (est de l'ordre de 0.55 %). Lorsque x D 2, e.f; 2/ 2:197 > 1. La fonction est donc élastique en x D 2. La variation relative de f est supérieure à celle de x. Par exemple, lorsque x varie de 1 % autour de 2, la variation (relative) de f est supérieure à 1 % (est de l'ordre de 2.2 %).
Voir
EXAMEN ANNEE 2011-2012 Licence Économie 1ère année 1re SESSION 2e SEMESTRE Matière : Mathématiques appliquées Durée : 2H – Éléments de corrections Seules les calculatrices non-programmables et non graphiques sont autorisées. Exercice I (3 points, 15 min) 1) On a f .x/ D 3x D ex n3. D'où f 0.x/ D n 3 ex n3 D n 3 3x . 2) On a e.f; x/ D x f 0.x/ f .x/ D x n 3 3x 3x D x n 3 3) Lorsque x D 1=2, e.f; 1=2/ 0:549 < 1. La fonction est donc inélastique en x D 1=2. La variation relative def est inférieure à celle dex.Par exemple, lorsquex varie de 1 % autour de 1=2, la variation (relative) de f est inférieure à 1 % (est de l'ordre de 0.55 %). Lorsque x D 2, e.f; 2/ 2:197 > 1. La fonction est donc élastique en x D 2. La variation relative de f est supérieure à celle de x. Par exemple, lorsque x varie de 1 % autour de 2, la variation (relative) de f est supérieure à 1 % (est de l'ordre de 2.2 %).
- moyenne œ0
- précédent développement limité
- conditions de kuhn-tucker
- calcul précédent
- pp pp
- jjj jjj
Dure : 2H – Èlments de corrections
re Licence Èconomie 1anne
re 1 SESSION
e 2 SEMESTRE
Seules les calculatrices non-programmables et non graphiques sont autorisÉes.
Exercice I(3 points, 15 min)
Matire : Mathmatiques appliques
EXAMEN ANNEE 2011-2012
x x`n30x `n3 x 1)On af .x/D3DD’oÙe .f .x/D`n3eD`n3 3. 2)On a 0x f .x/`n3 3 e.f; x/DxDxDx `n3 x f .x/3 3)LorsquexD1=2, e.f; 1=2/0:549 < 1. La fonction est donc inÉlastique enxD1=2. La variation relative defest infÉrieure À celle dex. Par exemple, lorsquexvarie de 1 % autour de1=2, la variation (relative) defest infÉrieure À 1 % (est de l’ordre de 0.55 %). LorsquexD2, e.f; 2/2:197 > 1. La fonction est donc Élastique enxD2. La variation relative def est supÉrieure À celle dex. Par exemple, lorsquexvarie de 1 % autour de2, la variation (relative) defest supÉrieure À 1 % (est de l’ordre de 2.2 %).
2 1)La fonctionf .x; y/est la somme de deux fonctions concaves d’une seule variable (x!2xety! y). Elle est donc concave. 2 2)Le lagrangien associÉ À.P /estL.x; y; 1; 2/D2xyC1.x/C2.xy1/. Les conditions de Kuhn-Tucker associÉes À.P /sont ( (( ( 0 D0D2C. x/D0 L2 1x 1160 x>0 .1/ .2/.3/ .4/ 0 LD0D 2y2 y2.xy1/D0 260 xy61
Exercice II(6 points, 40 min) On considÈre le problÈme de maximisation suivant : ( 2 maximiserf .x; y/D2xy .P / sous les contraintesx>0etxy61.
3)On Étudie successivement les conditions prÉcÉdentes selon les valeurs de1et2(4 cas). a)1D2D0. La premiÈre Équation de.1/donne0D2. Ce cas est donc impossible. b)1< 0et2< 0. Les Équations.2/donnentxD0etyD 1. En remplaÇant dans la seconde Équation de.1/on trouve2D2, ce qui est impossible. c)1< 0et2D0. La premiÈre Équation de.1/donne1D2, ce qui est impossible. d)1D0et2< 0. La premiÈre Équation de.1/donne2D 2. En remplaÇant dans la seconde, on trouveyD1. La premiÈre Équation de.2/est automatiquement vÉrifiÉ (car1D0) et la seconde donne xDyC1D2. Les Équations de.3/et.4/sont bien aussi vÉrifiÉes. On obtient donc un unique point critique
